Un gran premio para una conjetura refutada

Simplificando un poco, podemos decir que el trabajo de un matemático consiste en enfrentarse a conjeturas, afirmaciones de las que estamos razonablemente seguros a partir de la observación del mundo real o de nuestro conocimiento de los objetos matemáticos, pero cuya veracidad no podemos establecer más allá de toda duda para convertirlas en teoremas.

Un ejemplo de conjetura procedente del mundo real ---donde las matemáticas están más próximas al quehacer de un físico o un biólogo--- es la llamada Conjetura de Kepler, quien propuso, en 1611, que la intuición de los fruteros es correcta y la forma más eficaz de colocar naranjas, la que deja menos huecos libres entre ellas, son esas pirámides que uno ve en cualquier frutería del mundo, lo que los químicos ---que lo encuentran en la estructura de algunos compuestos--- llaman empaquetamiento cúbico compacto. La ventaja del punto de vista matemático es que no hay que limitarse a la fruta, ni siquiera a objetos tridimensionales, y estos problemas de empaquetamiento de esferas tienen múltiples aplicaciones, por ejemplo a la hora de determinar la distribución óptima de los satélites de comunicaciones o de las antenas de telefonía móvil. A principio del siglo XXI, casi 400 años después de que se propusiese la conjetura, Thomas Hales demostró que Kepler estaba en lo cierto.

Entre las conjeturas que tratan con objetos puramente matemáticos podemos señalar la que propone que, si bien la dificultad de comprobar que un número es primo aumenta cuando lo hace el tamaño del número, este aumento es moderado: el grado de dificultad viene dado por un polinomio en el número de cifras del número. Es importante observar que no se trata de intentar descomponer el número y, si no se puede, concluir que es primo, porque el proceso de factorización sí que se hace rápidamente mucho más arduo a medida que el número crece. De hecho, que encontrar primos grandes sea fácil mientras que factorizar números grandes es difícil es la base del sistema de seguridad más usado en el comercio electrónico. En 2002 Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena demostraron que, efectivamente, existe un algoritmo que permite decidir, en tiempo polinómico y con absoluta certeza, si un número es o no primo.

Otra conjetura famosa es la de Hirsch, que trata sobre objetos llamados politopos, que no son otra cosa que poliedros, pero con más de tres dimensiones. Aparecen de manera natural cuando se trata de asignar recursos, planificar producción, organizar turnos de trabajo, diseñar carteras de inversión o formular estrategias de mercado, y la resolución problemas de optimización sobre politopos ---conocida como programación lineal--- se ha revelado de vital importancia desde mediados del siglo XX . Es por ello importante que el tiempo necesario para resolverlos no crezca demasiado deprisa cuando crece el tamaño de los datos, Más exactamente nos gustaría que existiese un algorítmo que resolviese nuestro problema de programación lineal tardando , como en el caso de la primalidad, sólo un tiempo polinómico en la dimensión d del politopo (el número de variables involucradas) y en el número n de caras (las restricciones que definen el politopo). La principal dificultad es que no se sabe si el diámetro del politopo es polinómico en n y d.

El relieve de este premio, que recae por primera vez en un español queda de manifiesto si atendemos a algunos de los anteriores premiados"

En 1957 Warren Hirsch propuso la muy razonable conjetura de que el diámetro de un politopo no puede superar n-d (si queremos ser precisos, se trata del llamado diámetro combinatorio, porque hinchar un politopo no afecta a la dificultad de los problemas de programación lineal asociados).

Ante una conjetura caben dos opciones: demostrarla convirtiéndola en un teorema ---como en los dos ejemplos con los que hemos empezado---, o refutarla por medio de un contraejemplo. Para sorpresa general ---dado que se pensaba que la conjetura debía ser cierta---, Francisco Santos Leal (Valladolid, 1968), catedrático de Geometría y Topología en la Universidad de Cantabria, dio en 2010 un contraejemplo a la Conjetura de Hirsch. Este alarde de ingenio, imaginación y destreza técnica le ha valido ser galardonado el pasado 12 de julio con el prestigioso Premio Fulkerson, concedido conjuntamente por la Mathematical Optimization Society y la American Mathematical Society y que reconoce resultados sobresalientes en el campo de la matemática discreta.

El relieve de este premio, que recae por primera vez en un español ---que además trabaja en España---, queda de manifiesto si atendemos a algunos de los anteriores premiados. Entre ellos están los ya mencionados Hales, Agrawal, Kayal y Saxena, y también Kenneth Appel y Wolfgang Haken (por su demostración del teorema de los cuatro colores), Maria Chudnovsky, Paul Seymour, Hendrik Lenstra o László Lovász.

El Premio Fulkerson se concede cada tres años, y se pueden otorgar hasta tres premios en cada ocasión. El hecho de que, por primera vez en sus 36 años de existencia, en esta ocasión haya habido un único galardonado da fe de la singular importancia del resultado de Francisco Santos.

Adolfo Quirós Gracián es profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y vicepresidente de la Real Sociedad Matemática Española.