Logaritmos

Es fácil deducir el funcionamiento del ábaco de Napier, del que nos ocupábamos la semana pasada, observando la ilustración correspondiente: las casillas superiores de las tres varillas colocadas en el tablero componen el número 423, y las casillas alineadas con la casilla 2 del borde del tablero componen claramente el producto 2 x 423 = 846. Análogamente, junto a las sucesivas casillas del borde encontramos, respectivamente, los productos de 423 por 3, 4, 5… Solo que en algunos casos tenemos que sumar en diagonal el número superior de una casilla al inferior de la siguiente, que es el equivalente del consabido “me llevo una” (o dos, o tres…).

El ábaco neperiano permite convertir los productos en sumas y las divisiones en restas (una descripción detallada de su funcionamiento se puede encontrar, por ejemplo, en el ameno e instructivo blog Divermates), lo que lo emparenta con las tablas de logaritmos, también inventadas por el matemático escocés John Napier a principios del siglo XVII.

Recordemos el concepto de logaritmo: el logaritmo de un número n es la potencia p a la que hay que elevar otro número b llamado base para obtener dicho n; o sea, n = bᵖ. Si la base es 10, se denomina logaritmo decimal (también llamado vulgar o común); así, log 100 = 2, ya que 100 = 10². Si la base no es 10 (o e, como luego veremos) se indica a modo de subíndice; así, el logaritmo de 8 en base 2 es log₂ 8 = 3, ya que 8 = 2³.

La utilidad de los logaritmos consiste en que permiten convertir los productos en sumas, los cocientes en restas, las potencias en productos y las raíces en divisiones (¿puedes demostrarlo a partir de la definición de logaritmo?), con lo cual, una vez confeccionadas unas tablas en las que se consignan los logaritmos de, digamos, los 10.000 primeros números, se simplifican enormemente los cálculos que conllevan largas operaciones con números grandes.

Sabiendo que el logaritmo decimal de 2 es aproximadamente 0.3 (más precisamente 0.30102999566398, ya que las tablas suelen incluir catorce decimales, pero nos conformaremos con 0.3), a mis sagaces lectoras/es no debería resultarles difícil hallar:

log √2

log 1/2

log 80

O, a la recíproca, hallar los números a, b y c cuyos logaritmos decimales son respectivamente:

log a = 1.3

log b = 2.15

log c = 0.7

Logaritmos neperianos

En realidad, los logaritmos decimales, también llamados comunes o vulgares por ser los más usados, no fueron los primeros. Cuando Napier concibió los logaritmos, usó como base el número irracional e (2.718…), más interesante que el 10 desde el punto de vista matemático (¿por qué?), pero menos práctico para las operaciones aritméticas más habituales, como comprendió el clérigo y matemático inglés Henry Briggs, que convenció a Napier de la conveniencia de confeccionar una tabla de logaritmos decimales. El propio Briggs publicó en 1624 una tabla con los logaritmos decimales de treinta mil números naturales, con catorce decimales (una auténtica proeza para la época).

Mis lectoras/es menos jóvenes probablemente habrán llegado a manejar las tablas de logaritmos (por ejemplo, las de Vázquez Queipo) y/o las reglas de cálculo basadas en los mismos principios, que, con la eclosión de las calculadoras electrónicas y los ordenadores, han pasado a convertirse en piezas de museo, como el ábaco de Napier o la calculadora de Burattini; pero si en la actualidad su utilidad práctica es nula, su interés desde el punto de vista matemático no ha decaído, sino todo lo contrario.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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