El ábaco neperiano

Además de inventar los logaritmos, John Napier ideó un ingenioso ábaco para simplificar las operaciones aritméticas

John Napier.
John Napier.

Nos preguntábamos la semana pasada por la relación entre el metro y el segundo, nuestra unidad de longitud y nuestra unidad de tiempo. Pues bien, la relación no podría ser más directa: el semiperíodo de oscilación de un péndulo con un hilo de 1 metro es casi exactamente 1 segundo (para ser exacto, el hilo ha de medir 99,4 centímetros, según determinó Mersenne en 1664). De hecho, antes de que se impusiera la definición clásica del metro como diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre, primero Burattini y luego Talleyrand propusieron que la unidad de medida fuera la longitud de un “péndulo de segundos”, que es como se denomina aquel cuyo período de oscilación (el recorrido de ida y vuelta: el tic tac, para entendernos) es de 2 segundos.

En principio, la del péndulo parece una forma mucho más sencilla de determinar una unidad de longitud que medir el meridiano terrestre. ¿Por qué creen mis sagaces lectoras/es que se optó por el segundo criterio?

El prolífico y visionario Tito Livio Burattini (1617-1681) no consiguió imponer su sistema de unidades basado en el segundo, pero sí que impuso el nombre de “metro” para la unidad de longitud. Sus aportaciones no fueron solo teóricas, pues también inventó y construyó ingeniosos artefactos, como una aeronave (que consiguió volar con un gato como tripulante) y una máquina calculadora.

En cuanto al cubito de hielo de la semana pasada, al flotar desplaza un volumen de agua equivalente a su peso, y como al disolverse se convertirá en agua, ocupará exactamente dicho volumen, por lo que el agua no rebosará del vaso colmado, como sugiere la intuición. De hecho, el nivel del agua, al enfriarse, incluso descenderá imperceptiblemente, ya que alcanza su máxima densidad a los 4 ºC.

Y en el problema del agua y el vino, es fácil ver, si se enfoca adecuadamente, que habrá la misma cantidad de vino en el vaso de agua que agua en el vaso de vino, ya que al final de la operación hay en cada vaso la misma cantidad de líquido que antes (puesto que quitamos una cucharada y añadimos otra); por lo tanto, lo que de vino hay en el primer vaso es igual a lo que falta de agua y viceversa.

Mis sagaces lectoras/es no dejarán de apreciar la similitud de estos dos acertijos acuáticos, que aparentemente no tienen nada que ver.

Ábaco y logaritmos

Volviendo a Burattini, su pionera máquina calculadora se basaba en el ábaco neperiano, lo cual es un buen pretexto para hablar de Napier.

El gran matemático escocés John Napier de Merchiston (1550-1617) es conocido, sobre todo, como padre de los logaritmos, ese providencial invento que, como dijo Laplace, duplicó la vida útil de los astrónomos al simplificar enormemente los complicados cálculos astronómicos. La simplificación de los cálculos fue una de las principales preocupaciones de Napier, que, además de confeccionar las primeras tablas de logaritmos, popularizó el uso de la coma para diferenciar la parte decimal de la parte entera de los números e ideó el ábaco que lleva su nombre.

El ábaco neperiano consta de un tablero con reborde y diez varillas cuya altura coincide con la del tablero, para que encajen perfectamente en él. El reborde izquierdo del tablero está dividido en nueve casillas numeradas del 1 al 9. Las varillas también están divididas en nueve casillas; en las casillas superiores de las varillas están, respectivamente, los números del 0 al 9, y las otras ocho casillas de cada varilla está divididas por sendas diagonales en dos partes, numeradas de la manera que se ve en la figura.

Ábaco neperiano
Ábaco neperiano

Y en la siguiente figura vemos un sencillo ejemplo de utilización del ábaco, del que se puede deducir su funcionamiento, así como su relación con los logaritmos. ¿Se puede?

Utilización del ábaco
Utilización del ábaco

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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