Ascensores problemáticos

El problema del hula-hop planteado la semana pasada no es tan sencillo como parece; de hecho, la propia revista The American Mathematical Monthly dio primero una solución errónea que luego rectificó. El punto del aro en contacto con el ombligo de la chica recorre, antes de volver a él, una cardioide cuya longitud es cuatro veces el diámetro del aro. Una cardioide es la curva que describe un punto de una circunferencia que rueda sin deslizamiento alrededor de otra (como dos engranajes ―de infinitos dientes― conectados).

En cuanto al vehículo no contaminante de ocho ruedas, David Fernández e Ignacio Alonso proponen el vehículo lunar soviético Lunojod 1, enviado a nuestro satélite en 1970. Una solución válida a la par que entrañable, aunque la de Stephen Barr es más sencilla: una pareja de patines.

En el ascensor de Einstein

Si el movimiento circular de un punto que gira lo proyectamos sobre una recta contenida en el plano de rotación, obtenemos una oscilación, un vaivén, un sube y baja. Lo que nos lleva (a mí, al menos) a pensar en ascensores y en los interesantes problemas que plantean.

Pero no podemos hablar de ascensores y problemas sin dedicar unas palabras a Einstein, que, dando un nuevo e inusitado impulso al concepto de Gedankenexperiment de su maestro Ernst Mach, tras dedicarse a perseguir un rayo de luz con su imaginación hasta alcanzar la teoría de la relatividad especial, luego se encerró en un ascensor en caída libre o en acelerada ascensión hasta dar con la teoría de la relatividad general, para la cual la aceleración y la gravedad son distintos aspectos de una misma realidad física.

Y aprovechando el inciso relativista, un problema directamente inspirado en los experimentos mentales de Einstein:

Estás encima de una báscula pesa personas dentro de un ascensor, en la planta baja. Con el ascensor en reposo, la báscula marca 70 kg (sustituye esta cifra por tu propio peso si quieres personalizar el problema). Pulsas el botón de la décima planta y, durante 5 segundos, el ascensor aumenta su velocidad en 1 metro por segundo cada segundo. ¿Cuánto marca la báscula durante estos segundos de aceleración?

Luego el ascensor te lleva hasta la décima planta a una velocidad de 5 metros por segundo. ¿Cuánto marca ahora la báscula?

Al llegar a la décima planta, se rompe el cable del ascensor y baja en caída libre. ¿Cuánto marca la báscula antes de descuajaringarse en la planta baja?

Y en el mismo edificio o uno similar, un interesante problema planteado por Kobon Fujimura y Michio Matsuda en su libro Diálogo sobre rompecabezas (Tokio, 1971), citado por Martin Gardner en su sección de matemática recreativa de Scientific American:

En un edificio de diez plantas (incluida la planta baja) hay varios ascensores, cada uno de los cuales se detiene en la planta baja, en la última y en cuatro plantas intermedias. ¿Cuál es el menor número de ascensores que permiten ir directamente desde cualquier planta a cualquier otra, sin necesidad de cambiar de ascensor?

A modo de ejemplo y pista, he aquí una solución con seis ascensores para un edificio de ocho plantas, donde cada ascensor puede detenerse en la planta baja (1), en la última y en tres plantas intermedias. A continuación de cada ascensor se enumeran las plantas en las que puede detenerse:

Ascensor 1: 1, 2, 3, 7, 8

Ascensor 2: 1, 2, 6, 7, 8

Ascensor 3: 1, 4, 5, 7, 8

Ascensor 4: 1, 2, 4, 5, 8

Ascensor 5: 1, 3, 5, 6, 8

Ascensor 6: 1, 3, 4, 6, 8

¿Es mejorable esta solución? ¿Es única?

Y para terminar haciendo un poco de ejercicio, un clásico del pensamiento lateral:

Un hombre que tiene que subir a la octava planta del edificio del problema anterior coge el ascensor en la planta baja, sube hasta la cuarta planta, sale del ascensor y sigue hasta la octava por las escaleras. ¿A qué crees que se debe su extraña conducta?

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