Banquetes problemáticos

Es tentador pensar que nuestro oso de la semana pasada está en el polo sur: caminas 10 kilómetros hacia el norte siguiendo un meridiano, luego otros 10 hacia el este por un paralelo, y finalmente otros 10 hacia el sur por otro meridiano para volver al punto de partida tras describir un elegante triángulo geodésico equilátero. De hecho, esta es la solución que se da a menudo en las publicaciones en las que aparece este acertijo; pero hay un pequeño fallo: en la Antártida no hay osos y, por tanto, estamos en el Ártico, 10 kilómetros al sur del paralelo, próximo al polo norte, cuya longitud es de 10 kilómetros: llegamos hasta él al caminar 10 kilómetros hacia el norte, lo recorremos entero al ir 10 kilómetros hacia el este y volvemos al punto de partida al ir 10 kilómetros hacia el sur. ¿Puedes calcular la latitud del punto de encuentro con el oso? ¿Es única la solución?

La cantidad de balas de cañón del segundo problema es fácil de calcular: en la base hay 15², en el segundo nivel 14², en el tercero 13² y así sucesivamente, por lo que en total habrá:

15² + 14² + 13² + 12² + 11² + 10² + 9² + 8² + 7² + 6² + 5² + 3² + 2² + 1 = 1240

Es evidente que, para cualquier número n de balas en el lado de la base de la pirámide, el número total de balas es la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales; pero si n es grande las operaciones son largas y engorrosas, así que ¿puedes hallar una fórmula sencilla que dé la suma de los cuadrados de los n primeros números?

Y, pasando de la aritmética a la geometría, ¿puedes calcular la altura de la pirámide de balas, si suponemos que son esferas de 20 cm de diámetro? Y, pasando de la geometría a la física, ¿por qué no ruedan hacia fuera las balas/bolas del perímetro de la base?

En cuanto a las balanzas de brazos desiguales, la regla de la doble pesada mejora mucho la situación para los clientes, pero sigue permitiéndoles a los mercaderes tramposos sisar un poco. En efecto, supongamos que los brazos de la balanza miden 9 y 10 pulgadas (u otras unidades cualesquiera) respectivamente y que pesamos 1 kilo de mercancía; si la colocamos en el platillo del brazo corto y llamamos x al peso necesario para equilibrar la balanza, tendremos:

x/9 = 1/10, de donde x = 9/10 = 0,9

Si colocamos la mercancía en el otro platillo y llamamos y al peso necesario para equilibrarla ahora:

y/10 = 1/9, de donde y = 10/9 = 1,111…

La media de ambas pesadas es 2,011/2 = 1,0055, por lo que el mercader tramposo cobra 5,5 gramos de más por cada kilo de mercancía que vende.

Banquetes heterogéneos

Y puesto que hemos revisitado varios problemas de ingenio clásicos, terminemos con uno que mereció la atención de matemáticos tan ilustres como Luca Pacioli y Niccolò Fontana, más conocido como Tartaglia, y otro muy similar propuesto por Euler:

A un banquete asisten 41 personas, entre hombres, mujeres y niños, que gastan un total de 40 dracmas. Como los hombres comen más que las mujeres y los adultos más que los niños, cada hombre paga 4 dracmas, cada mujer paga 3 dracmas y cada niño paga 4 denarios. Sabiendo que una dracma equivale a 12 denarios, ¿cuántos hombres, mujeres y niños asisten al banquete?

Y, ahora sin niños, la variante de Euler:

Un grupo de hombres, algunos de ellos acompañados por sus esposas, gastó 1.000 dracmas en un banquete. Cada hombre pagó 19 dracmas y cada mujer 13. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres había?

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