Probabilidades sorprendentes

Como hemos visto en semanas anteriores, el cálculo de probabilidades es un venero inagotable de problemas y sorpresas

Blaise Pascal, uno de los creadores del cálculo de probabilidades.
Blaise Pascal, uno de los creadores del cálculo de probabilidades.

Los números vampiros de 4 cifras, como los dos que vimos la semana pasada (1.435 y 2.817), no son muy abundantes; he aquí algunos más:

1.260 = 21 x 60

1.827 = 21 x 87

1.395 = 15 x 93

6.880 = 86 x 80

1.530 = 51 x 30

Hay 155 números vampiros de 6 cifras (¿puedes hallar alguno?), más de 3.000 de 8 cifras y más de 100.000 de 10 cifras: su número aumenta rápidamente a medida que crece el número de cifras. He aquí uno de 20 cifras, con el “valor añadido” de que uno de los factores es un palíndromo formado por los números del 1 al 5 en orden creciente y decreciente:

11.311.432.469.283.552.606 = 9.162.361.086 x 1.234.554.321

En cuanto a la secuencia 699, 486, 192, 18, 8, cada término es el producto de los dígitos del anterior, y el número de pasos necesarios para agotar el proceso (o sea, para llegar a un número de una sola cifra) es la “persistencia” del número; así, 699 es un número de persistencia 4, y el menor número de persistencia 4 es el 77, que da lugar a la secuencia:

77, 49, 36, 18, 8

No se conoce (que yo sepa) ningún número de persistencia 12, y se ha conjeturado que hay un límite, es decir, que existe un número n tal que no existe ningún número con persistencia mayor que n.

En cuanto al 90.625, tiene la curiosa propiedad de que su cuadrado (y por ende todas sus potencias) termina en 90.625:

90.625 x 90.625 = 82.112.890.625

¿Puedes hallar otros números de 5 o más cifras con esta propiedad?

En el siniestro “juego” del tío Henry (H), la tía Em (E) y Dorothy (D), es evidente que H tiene un 50 % de probabilidades de sobrevivir, o sea, de ganar. Para que gane E, tiene que morir H y sobrevivir ella, luego su probabilidad es 1/2 x 1/2 = 1/4, o sea, un 25 %. Y para que gane D tienen que morir H y E y sobrevivir ella, luego su probabilidad es 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8, o sea, un 12.5 %; la misma que la de perder, es decir, de que mueran los tres (aunque en este caso habría que hablar más bien de empate).

Más probabilidades

Quienes frecuenten la sección de comentarios habrán observado que, últimamente, mis sagaces lectoras/es están mostrando especial interés por los problemas de probabilidades, así que, en mi afán por complacerles, he seleccionado cuatro un tanto peculiares:

1. Recibes una carta que puede venir de Barcelona o de Girona, pero en el matasellos solo son legibles las letras ON. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta venga de Girona?

2. Se lanza un dado y se introducen en una caja tantas bolas blancas como indica el número obtenido, se vuelve a lanzar el dado y se introducen en la caja tantas bolas negras como indica el número obtenido, y a continuación se saca de la caja una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca?

3. Dado un número de 7 cifras cuya suma es 59, ¿cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 11?

4. Un tahúr tiene tres monedas en el bolsillo: una con dos caras, una con dos cruces y una normal (con cara y cruz). Saca una moneda al azar, la lanza al aire y sale cara. ¿Cuál es la probabilidad de que salga de nuevo cara si vuelve a lanzarla?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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