La aguja de Buffon

Para formar, utilizando los 10 dígitos, dos números de cinco cifras cuyo producto sea máximo, como nos pedía el primero de los acertijos de Angela Dunn propuestos la semana pasada, hay que tener en cuenta dos cosas: que los dígitos más grandes han de estar a la izquierda, y que la diferencia entre ambos números ha de ser la menor posible. Por tanto, un número acabará en 0 y el otro en 1, uno tendrá 2 decenas y el otro 3, uno tendrá 4 centenas y el otro 5, y así sucesivamente. Y la diferencia entre ambos es mínima para los números 96.420 y 87.531.

En el segundo problema, si llamamos x al menor de los dos números consecutivos, tenemos que x = 23a y x+1 = 29b, siendo a y b números enteros, luego 29b = 23a+1, por lo que a ha de ser de la forma 29k+5 y b de la forma 23k+4. Como los números solo pueden contener los dígitos 1 y 2, x ha de terminar en 1, luego a termina en 7, y por tanto k termina en 8. Con k = 18, a = 27 y b = 418, y los números son 12.121 y 12.122.

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Según la solución que da Angela Dunn, el primer día de un siglo solo puede ser lunes, martes, jueves o sábado; pero hay un debate abierto entre nuestras y nuestros lectoras y lectores relativo a lo que puede suceder a partir del año 4000 (ver sección de comentarios de la semana pasada). 

Particiones y probabilidades

Las últimas semanas hemos hablado de particiones (de cocos, perlas y monedas) y de probabilidades, y ambos temas han suscitado numerosos e interesantes comentarios. Veamos, pues, un par de insólitos problemas (uno muy conocido y otro no tanto) que reúnen lo partitivo y lo probabilístico.

Una fina varilla de vidrio de 30 centímetros de longitud cae al suelo y se rompe en tres trozos. Suponiendo que todos los posibles puntos de fractura sean igualmente probables, ¿cuál es la probabilidad de que con los tres trozos se pueda formar un triángulo?

A mediados del siglo XVIII, el gran naturalista y matemático francés Georges Louis Leclerc, conde de Buffon, dividió una hoja de papel en franjas de 4 centímetros de ancho mediante rayas paralelas y calculó la probabilidad de que, al dejar caer sobre el papel rayado una aguja de 2 centímetros de longitud, la aguja quedara tocando una de las rayas. Curiosamente, pues el problema no parece tener nada que ver con circunferencias, Buffon halló (aplicando el poderoso cálculo infinitesimal desarrollado un siglo antes por Leibniz y Newton) que dicha probabilidad era igual a 1/π. Sabiendo esto, ¿cómo podríamos hallar experimentalmente el valor de π?