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En busca de la caja perfecta

Un interesante ejemplo de problema sencillo de plantear y complicado de resolver.

Habitualmente, los problemas interesantes a los que se enfrentan los matemáticos profesionales actualmente suelen ser cuestiones complicadas, tanto en su planteamiento como en su solución. Pero hay muchos problemas que, a pesar de su sencillo planteamiento, han suscitado un gran interés entre muchos miembros de la comunidad matemática a lo largo de la historia. El que nos ocupa hoy es uno de ellos.

Vamos a hablar de cajas. Pero no de cualquier caja, sino de cajas con ciertas propiedades. Buscamos cajas como las que ahora mismo podéis tener en la mente, tipo las cajas de zapatos: cajas en las que las tres parejas de caras opuestas son rectángulos (evidentemente, también nos sirven cuadrados) iguales. Estas cajas se llaman cuboides. Pero vamos a pedirles también que además cumplan que sus aristas tengan longitudes sencillas, ya que no queremos números complicados. Por ello, para nuestras cajas vamos a elegir números enteros para las longitudes de sus aristas.

Como ese tipo de cajas son sencillas de encontrar, vamos a añadirle una condición más: vamos a buscar cajas en las que las diagonales de sus caras también sean números enteros. Si las longitudes de las aristas son números enteros, las longitudes de las diagonales son fácilmente calculables utilizando el teorema de Pitágoras. Vosotros mismos podéis buscar una caja así: elegís tres valores enteros positivos para las aristas y calculáis después los valores de las diagonales para ver si éstas también son enteras positivas.

Si lo hacéis, os daréis cuenta de que la cosa no es tan sencilla como cabía esperar. Lo normal es que, probando de esta forma, no hayáis sido capaces de encontrar ninguna caja con las condiciones que hemos comentado. La pregunta ahora es: ¿existen cajas con estas características?

Y la respuesta a esta pregunta es afirmativa: sí existen cajas en las que tanto las aristas como las diagonales de las caras tienen longitudes positivas. Vamos a llamar cuboides racionales a estas cajas cuyas aristas y diagonales de las caras son números enteros positivos.

Según parece, fue Nicholas Saunderson el primero que publicó algo relacionado con estas cajas sobre 1740, dando una expresión paramétrica para encontrar infinitas de ellas. Saunderson ya conocía en aquella época el siguiente resultado:

“Si tres números enteros positivos (a,b,c) cumplen el teorema de Pitágoras (es decir, cumplen que a2+b2=c2), entonces los números (x,y,z) calculados de esta forma

x=4abc, y=a(4b2-c2), z=b(4a2-c2)

son las aristas de un cuboide racional.”

Es decir, (x,y,z) son las aristas de una caja como las que estamos buscando.

Como hemos dicho, esto aparece en una publicación a nombre de Saunderson sobre 1740, pero actualmente a este tipo de cajas se las conoce como cajas de Euler (en inglés se las suele llamar Euler brick). Es cierto que Euler también las estudió, y que encontró algunas propiedades interesantes sobre ellas, pero fue con posterioridad a Saunderson. Que la historia se las asigne a Euler posiblemente esté provocado por la mayor difusión de los trabajos de éste.

Respecto a los trabajos de Euler sobre este tema, destacan principalmente dos. Primero, sabía que el cuboide de aristas (44,117,240) era el más pequeño posible. Y segundo, que si (x,y,z) son los lados de una caja de Euler, entonces los productos (yz,xz,xy) también son los lados de otra caja de Euler. Estas cajas suelen llamarse cajas de Euler derivadas (o cuboides derivados).

Pero se puede ir aún más lejos. Los cuboides cumplen que sus cuatro diagonales espaciales (las diagonales internas que unen vértices opuestos) son iguales. ¿Por qué no pedir que esa diagonal también tenga longitud entera? Una caja que cumpla también esa condición se llama cuboide perfecto.

Si probáis con la menor caja de Euler, la (44,117,240), veréis que ésta no es un cuboide perfecto. Y también está demostrado que las cajas de Euler (las que comentábamos antes que eran de Saunderson) tampoco son cuboides perfectos. Y, además, también se sabe que las cajas de Euler derivadas tampoco pueden aspirar a ser cuboides perfectos (aquí tenéis una demostración de este resultado dada por John Leech en 1981). Por lo que si buscamos cajas perfectas en este sentido tendremos que orientar la búsqueda de otra forma.

Recapitulando, un cuboide perfecto es un cuboide en el que las longitudes de los lados, las diagonales de sus caras y la diagonal espacial son todas números enteros positivos. Y ahora la pregunta está clara: ¿existen cuboides perfectos? Pues…no se sabe. Hasta ahora, no se ha encontrado ninguna caja perfecta ni tampoco se ha demostrado que no existan.

Se conocen algunos datos sobre ellas, como que si existen se debe cumplir que el lado menor debe medir más de 1010, o algunas relaciones de divisibilidad que deben cumplir algunos lados o diagonales, pero no mucho más.

Aunque hace relativamente poco se avanzó algo en el tema. No se encontró ningún cuboide perfecto, pero sí se han encontrado paralelepípedos perfectos. La diferencia de éstos con los cuboides es que las caras no son todas rectángulos o cuadrados, sino que son otro tipo de cuadriláteros. Ello supone que las dos diagonales de cada cara sean distintas y que las cuatro diagonales espaciales sean también distintas, por lo que en vez de necesitar 7 elementos enteros (los tres lados, las tres diagonales de las caras y la diagonal espacial) necesitamos 13 valores enteros: los tres lados, las seis diagonales de las caras (dos por cara) y las cuatro diagonales espaciales. Bien, pues aunque sean más elementos los que deben ser enteros, para este tipo de cajas se encontraron ejemplos en el año 2010.

Primer paralelepípedo perfecto encontrado

En la imagen tenéis uno de ellos. Como se puede ver, las caras a izquierda y derecha son dos rombos de lados 103 y 106 que distan 271 (estos son los tres lados del paralelepípedo) cuyas diagonales miden (101,183); las diagonales del resto de caras son (266,312) y (255,323); y las diagonales espaciales miden (272,278,300,374). Como veis, los 13 valores son enteros positivos.

El hecho de encontrar un paralelepípedo perfecto fue una sorpresa, ya que se creía que no existía ninguno. Pero la sorpresa fue aún mayor cuando se descubrió que éste (que fue el primero que se descubrió) no era el único: se conocen al menos 30 de estos paralelepípedos perfectos. Aquí tenéis información sobre ello, aunque por desgracia el artículo no es de acceso público. Pero para compensar esto, os dejo este otro artículo con mucha información sobre la búsqueda de los cuboides perfectos.

Como podéis ver, ciertos problemas sencillos de plantear y explicar (hasta un niño podría entender su planteamiento) puede ser de interés para matemáticos y tremendamente difíciles de resolver, y el que nos ha ocupado hoy es un buen ejemplo. Todavía no se han encontrado cuboides perfectos, ni se ha demostrado que no existan, por lo que seguimos, y posiblemente seguiremos durante mucho tiempo, en busca de la caja perfecta.