El tamiz de Apolonio

Veíamos la semana pasada algunas de las propiedades del “aburrido” número 42, y hay más. Como señala Salva Fuster: “El número 42 no es únicamente el segundo número esfénico, sino que la suma de los divisores propios del primer número esfénico (30) es precisamente 42. También es un número oblongo, es decir, producto de dos naturales consecutivos (42 = 6 x 7)”.

Recordemos que los divisores propios de un número son todos menos el propio número, valga el juego de palabras; en el caso de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10 y 15. Pero no se acaban aquí las propiedades de este número tan injustamente menospreciado:

42 es el sexto número de Catalan (sin acento: era belga). Recordemos que los números de Catalan, de los que ya nos hemos ocupado en alguna ocasión, representan, entre otras cosas, las distintas maneras de dividir un polígono en triángulos mediante diagonales que no se corten o de insertar paréntesis en un producto de varios factores. Los diez primeros números de Catalan son: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862 y 16796.

42 es la constante mágica de un cubo mágico de 3×3×3, que contiene en sus cubículos los números del 1 al 27, de forma que la suma a lo largo de cualquier fila, columna o diagonal que pase por el centro es la misma, denominada constante mágica (¿puedes demostrar que dicha constante mágica es 42?).

42 es la menor dimensión para la cual se ha demostrado que es correcta la “conjetura de la salchicha”, que afirma que para cinco dimensiones o más, el empaquetamiento de esferas cuya envolvente convexa tiene volumen mínimo, es siempre una disposición en hilera.

Del tamiz (de Apolonio) al tapiz (de Sierpinski)

Pero para hablar de la conjetura de la salchicha y otros interesantes aspectos del empaquetamiento de esferas, tema del que ya nos ocupamos, aunque muy por encima, el año pasado, conviene descender una dimensión y empezar hablando de empaquetamiento de círculos. En este caso, la disposición en hilera (salchicha) no da lugar a la envolvente de superficie mínima, como es fácil ver en el caso de siete círculos iguales, que, como demostró Gauss, pueden empaquetarse de la forma más densa posible con uno de ellos rodeado por los otros seis (¿qué ahorro de superficie envolvente supone la disposición hexagonal con respecto a la salchicha?).

Pero los círculos empaquetados no tienen por qué ser iguales, y ya en el siglo III a. C. el matemático griego Apolonio de Perga hizo importantes contribuciones al estudio de los círculos de distintos tamaños tangentes entre sí.

Apolonio descubrió que, dadas tres circunferencias cualesquiera tangentes cada una a las otras dos, existen otras dos circunferencias tangentes a esas tres. Si repetimos el proceso con las nuevas ternas de circunferencia a las que da lugar la incorporación de estas dos y repetimos el proceso indefinidamente, obtenemos un fractal denominado, en honor del “gran geómetra” (como fue conocido en su tiempo), el tamiz de Apolonio, que fue estudiado por Leibniz (por lo que se lo conoce también como “empaquetamiento de Leibniz”) y que es un claro precedente del triángulo y el tapiz de Sierpinski.

El tamiz de Apolonio se puede construir a partir de distintas ternas de generatrices. Si las tres circunferencias iniciales tienen el mismo radio, como en la figura, obtenemos el denominado tamiz de Apolonio simétrico. Si una de las tres circunferencias generatrices tiene un radio infinito, es decir, es una recta tangente a dos circunferencias tangentes entre sí, obtenemos una familia de círculos de Ford. Pero ese es otro artículo.

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