La respuesta a la gran pregunta

Buscábamos la semana pasada una demostración simple e intuitiva, apta para anaritmetos funcionales, de que el producto de dos números negativos es un número positivo (aquello de que menos por menos es más). Y Juan Antonio Adán sugiere una no muy ortodoxa, pero eficaz: “Respecto al primer problema, cómo explicar de forma sencilla que el producto de dos números negativos es positivo, podría ser así: si no tengo dos amigos a los que debo 15 euros, no tengo 30 euros menos”.

Una demostración más matemática, sin dejar de ser asequible, podría ser de este tipo:

-3 x 0 = -3 x (5 - 5) = -3 x [5 + (-5)] = (-3 x 5) + (-3 x -5) = -15 + (-3 x -5), de donde -3 x -5 = 15

Para colorear un mapa tipo globo terráqueo, es decir, dibujado sobre una esfera, también bastan cuatro colores, pues en este aspecto su superficie es topológicamente equivalente al plano. Es fácil de ver (es un decir) “arrancando” mentalmente una cualquiera de las regiones de la superficie de la esfera y agrandando el agujero y estirando el mapa, como si fuera de goma, hasta colocarlo sobre un plano; de este modo, es como si la región arrancada se hubiera vuelto infinita y envolviera a todas las demás, con lo que hemos convertido el mapa esférico en uno plano, por lo que bastarán cuatro colores para colorearlo.

Para colorear un mapa dibujado sobre la superficie de un toro hacen falta siete colores. La demostración pasa por cortar el toro a lo largo de dos curvas cerradas para desplegarlo y convertirlo en un rectángulo (dejo el resto de la demostración a mis sagaces lectoras y lectores que aspiren a subir nota).

En cuanto al número 17, el joven —jovencísimo— Gauss observó que, además de ser primo, es una potencia de 2 más 1: 17 = 2⁴ + 1, y que estas dos propiedades implicaban que las 17 soluciones (en el dominio de los números complejos) de la ecuación x¹⁷ = 1 podían hallarse mediante las operaciones algebraicas habituales: suma, resta, multiplicación y división, junto con la formación de raíces cuadradas. Y todas estas operaciones pueden realizarse geométricamente usando regla y compás, lo que implica que ha de haber una construcción con regla y compás para el polígono regular de 17 lados.

El “aburrido” número 42

En la novela de culto Guía del autoestopista galáctico, el número 42 es: “La respuesta a la gran pregunta sobre el sentido de la vida, el universo, y todo lo demás”. Su autor, Douglas Adams, dijo que escogió ese número porque un sondeo rápido entre sus amigos reveló que era muy aburrido. Pero, ¿es eso cierto?

Suponiendo que hubiera números aburridos (e invito a mis sagaces lectoras y lectores a reflexionar sobre ello), desde luego el 42 no lo es. Veamos algunas de sus características:

42 es el número de particiones de 10 (modos de escribirlo como una suma de números positivos enteros en su orden natural), como por ejemplo: 1 + 2 + 2 + 5, 1 + 3 + 6, 3 + 3 + 4…

42 es el segundo de los números esfénicos (los que son producto de tres primos distintos), puesto que 42 = 2 × 3 × 7. Los diez primeros números esfénicos son: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114 y 130.

42 es el tercero de los números pentadecagonales, análogos a los números triangulares, pero basados en un polígono regular de 15 lados.

¿Puedes hallar otras características notables del “aburrido” número 42?

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