Gaussianos: “Juego a la lotería aunque matemáticamente no debería”

Miguel Ángel Morales Medina es editor del boletín de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) y responsable de Gaussianos, uno de los blogs sobre números más populares de España. Quizá muchos lectores lo conozcan también porque presentó uno de los 40 desafíos que EL PAÍS planteó en 2011. Cada mes de diciembre escribe algún post sobre el sorteo de la Lotería de Navidad, de la que compra algún décimo todos los años, y también juega al Euromillón cada semana. Reconoce que en términos estrictamente matemáticos no debería participar en estos sorteos, pero argumenta que además de las probabilidades hay otros factores que no se pueden medir, como la ilusión de que te toque un gran premio por una pequeña apuesta.

Pregunta: En uno de sus últimos post ironizaba sobre las largas colas que se forman ante administraciones de lotería como la de Doña Manolita en Madrid. El razonamiento de algunos de esos compradores es “aquí es mucho más probable que toque el Gordo que en la administración de mi pueblo”.

Respuesta: Salta a la vista que el razonamiento es falaz. Evidentemente, es más probable que toque ahí, porque venden un gran volumen de números, pero el número concreto que compramos tiene las mismas probabilidades de salir que cualquiera de los que se despachan en Doña Manolita o donde sea.

Un décimo comprado en una administración grande tiene las mismas probabilidades de tocar que el comprado en cualquier otro sitio”

P. Pero mucha gente habla de números bonitos, feos, de números que es imposible que salgan, por muy bajos o porque tienen muchos números repetidos…

R. La lotería es un juego absolutamente justo para todos los números. Tengo un familiar que dice que los sorteos están todos trucados. Y argumenta que aunque los billetes de lotería tienen cinco cifras (y hay diez posibles, del cero al nueve) salen más veces premiados los números con al menos dos repetidas que con todas las cifras diferentes. Pero un análisis detallado nos muestra que solo alrededor del 30% de los números del cero al 99.999 tienen todas las cifras distintas. Y más del doble, el 70% tienen alguna repetida.

P. Algunos se fijan también en que algunas terminaciones han salido mucho más que otras en el sorteo de Navidad. El Gordo ha terminado 32 veces en 5 y solo ocho veces en 1.

R. La cuestión es que la lotería de Navidad se juega solo desde hace 200 años, el número de sorteos es aún muy pequeño y por eso se producen esos resultados que nos parecen raros. Pero cuando hayamos celebrado 7.000 millones de sorteos lo normal es que el porcentaje de aparición de cada terminación esté más cerca del 10% de las veces.

Es más probable que el Gordo tenga alguna cifra repetido a que tenga todas distintas”

P. Más cosas raras. Desde hace dos siglos, cuando se realizó el primer sorteo de Navidad, en dos ocasiones se ha repetido el número del premio Gordo. En 2006 y 1903 salió el 20.297; y en 1956 y 1978 el 15.640. Aparentemente parece una casualidad muy grande, pero ¿es tan extraordinario que esto haya sucedido?

R. No es fácil calcularlo, porque el número de bolas que entran en el bombo ha variado mucho a lo largo de estos 200 años. Solo desde 2011 entran 100.000 números en sorteo. Y hay que considerar una cosa: tendemos a pensar en los sorteos individualmente pero para analizar esta cuestión tendríamos que pensar en parejas de sorteos. Es muy improbable que este año caiga el primer premio en un número que ya haya salido, pero lo es mucho menos que en dos sorteos cualesquiera se haya repetido el Gordo. Pasa algo parecido con las fechas de cumpleaños: en un grupo de 23 personas no es fácil que alguien haya nacido el mismo día que yo, pero la probabilidad de que al menos dos cumplan en la misma fecha es de más del 50%, aunque no lo parezca.

Suponiendo que los 200 sorteos se hubieran celebrado con 100.000 bolas [durante muchos años se metían al bombo bastantes menos] la probabilidad de que hubieran coincidido dos números Gordos habría sido de 0,180559 (el 18%). Para que la probabilidad de que eso sucediese fuera mayor del 50% (con sorteos de 100.000 bolas) tendrían que pasar 373 navidades.

P. Usted juega a la lotería de Navidad y al Euromillón, pero matemáticamente no parece muy probable que le toque algo, ¿no?

R. La probabilidad de ganar el premio máximo del Euromillón jugando solo un boleto es de uno entre 116 millones, extremadamente baja. La de sacarte el Gordo de Navidad comprando solo un décimo es sensiblemente más alta, de uno entre 100.000. Yo a la lotería también le veo otra ventaja, al menos psicológica, y es que normalmente le toca a alguien, porque es raro que un número se quede sin vender, pero el Euromillón muchas semanas no lo gana nadie.

De todas formas, la probabilidad por si sola no es determinante. En los juegos hay que calcular la esperanza matemática, lo que esperamos llevarnos por cada apuesta. Para obtenerla multiplicamos la cantidad ganada si se acierta, por la probabilidad de acertarlo. Tanto para el Gordo de la Navidad como para el Euromillón la esperanza es desfavorable para el jugador, como no podría ser de otra forma

Si compras un décimo no solo compras una probabilidad, también compras la ilusión de ganar mucho por una pequeña apuesta”

P. Entonces... siempre que la esperanza es desfavorable matemáticamente no conviene jugar y cuando es favorable teóricamente sí que nos interesa...

R. Sí, se puede decir que matemáticamente conviene jugar si la esperanza es positiva, ya que ello indica que se espera que ganes más dinero del que apuestas. Pero recordemos que la esperanza matemática representa el dinero que de media ganará cada jugador, por lo que ni mucho menos es seguro que vayamos a ganar algo. Sobre este tema de la esperanza existe un interesante problema conocido como paradoja de San Petersburgo que puede formularse de la siguiente manera:

Supongamos que le propongo pagar por jugar al siguiente juego: yo realizo lanzamientos de una moneda hasta que sale una cruz por primera vez, y usted se lleva una cantidad de euros igual a dos elevado al número de lanzamientos que yo haya realizado. Por ejemplo, si la primera cruz sale en el cuarto lanzamiento usted se llevará 16 euros, si sale en el séptimo se llevará 128, etc.

Si calculamos la esperanza de este juego nos sale que es infinita. Es decir, se espera que cualquier jugador gane infinitos euros jugando. La pregunta es: ¿cuánto dinero estaría dispuesto a pagar al principio? Si yo le pidiera 10 euros para jugar, ¿aceptaría? ¿Y si le pidiera 100.000? La paradoja está en que matemáticamente hablando podríamos decir que usted debería estar dispuesto a pagar cualquier cantidad de dinero inicialmente, ya que espera obtener una ganancia infinita, pero en realidad no parece muy lógico pagar mucho dinero para jugar debido a que es muy probable que la primera cruz salga en unas pocas tiradas.

P. Así que usted se pensaría mucho participar en ese juego pero compra décimos para Navidad…

R. Siendo estrictamente racional no jugaría a la lotería pero por suerte no somos máquinas y nos influyen muchos más factores: al comprar un billete no solo compras una probabilidad, compras la ilusión de poder tener muchas cosas si te toca el premio por un poco de dinero que te has gastado. Y luego hay otro razonamiento que hacemos muchas veces: “Voy a desayunar al mismo sitio todos los días, me ofrecen un décimo, digo que no y a ver si el día 22 voy a ser yo el tonto que no ha comprado…”.