Cómo obtener parejas 'elegantes'

Ya hay solución para el trigésimo primer desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española (ver el vídeo conmemorativo).

Raúl Ibañez, profesor titular de Geometría en la Universidad del País Vasco, responsable del portal Divulgamat, premio Savirón 2010 y COSCE 2011; propuso el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (vídeo de la derecha).

Para este desafío se han recibido en el plazo marcado 380 respuestas, de las que el 97% son correctas. El ganador de una biblioteca matemática como la que entrega cada semana EL PAÍS ha sido en esta ocasión Francisco Javier Ruiz Piñar, de Madrid.

Recordemos el desafío. Un número es elegante si al sumar los cuadrados de sus cifras, repetir la esta misma operación sobre el resultado obtenido, e iterar este proceso suficientes veces, obtenemos finalmente 1. Por ejemplo, el número 9.100 es elegante, ya que, primero, 9^2+1^2+0^2+0^2=82. Siguiendo el proceso: 8^2+2^2=68. Iterando una vez más: 6^2+8^2=100. Y, por último, 1^2+0^2+0^2=1. Lo que se pedía era encontrar infinidad de parejas de números consecutivos de manera que ambos fueran elegantes.

Como demuestra el elevado porcentaje de respuestas correctas, este es un desafío sencillo y divertido, que para ser resuelto simplemente necesita ponerse a la tarea y estar dispuesto a jugar un poco. Veamos cómo puede hacerse.

Es fácil conseguir una familia infinita de números elegantes, como han manifestado en sus correos la mayoría de las personas que han contestado a este desafío, ya que la familia 10, 100, 1000, 10.000, etc., es una familia de números elegantes. Otra de las características de este problema es que cada número elegante es una puerta a conseguir más números elegantes. Así, como 10 es un número elegante, cualquier número cuya suma de los cuadrados de sus cifras sea 10 también será un número elegante. Como 1 y 3 satisfacen esta propiedad (1^2+3^2=1+9=10), entonces los números 13 y 31 son números elegantes.

Para conseguir más números elegantes podemos volver a realizar la misma operación con los números 13 y 31, aunque no hay que perder de vista nuestro objetivo de conseguir parejas de números elegantes consecutivos. Si las cifras 1 y 3 nos valían para el 10, otras dos cifras pequeñas, como son el 2 y el 3, nos valen para el 13, es decir, 2^2+3^2=4+9=13. De esta manera obtenemos otros dos números elegantes como son el 23 y el 32 y, sobre todo, descubrimos la primera pareja de números elegantes consecutivos, 31 y 32. Esta pareja ha sido descubierta por la práctica totalidad de las personas que nos han escrito, como Jesús Campos -la primera persona en responder al desafío- y, de hecho, es la piedra angular para obtener una familia infinita de números elegantes consecutivos.

Hay varias maneras sencillas de lograr ese objetivo a partir de la pareja 31 y 32. La más utilizada ha sido incluyendo ceros entre las dos cifras de esos números, así se obtienen 31-32, 301-302, 3001-3002..., como han hecho Marisa Berdasco, Manuel Martínez Llaneza, Eva Quijano o el tándem Asun y Javier Sandonís, entre muchísimos otros. Otra manera similar sería convirtiendo esos números en nuevos números mediante unos y añadiendo de nuevo ceros, así los números 111...1110 (31 unos) y 111...111 (32 unos) son también números elegantes consecutivos, o incluyendo ceros en medio -de diferentes formas incluso- obtenemos una familia infinita de parejas de números elegantes consecutivos. Así, 111...1110 (31 unos) - 111...111 (32 unos), 111...11100 - 111...11101, 111...111000 - 111...111001, etc. Este método ha sido utilizado, por ejemplo, por Vicente Morales López del Castillo.

Estas sencillas técnicas valen para cualquier pareja de números elegantes consecutivos. Ramón Esteban-Romero utiliza la pareja 129-130, aunque nos comenta otras posibles parejas, de la que por ejemplo tenemos la serie infinita 1029-1030, 10029-10030, 100029-100030, etc. Y también nos valdría el poner tantos unos como el número que tenemos, al igual que en el caso del 31. Javier Montero, aunque también cita otras parejas, hace uso de 637 y 638. Felix Ureña utiliza 15210 y 15211, a las que ha llegado apoyándose en la pareja 31 y 32. La pareja 1221 y 1222 es utilizada por Ret Dui, la pareja 1184 y 1185 por Sergio López Goikolea, la pareja 1771 y 1772 por David Ayala, o la pareja 65214 y 65215 por Alfredo Garrido, entre muchas otras parejas.

Una buena cantidad de personas se han dedicado primero a la búsqueda de números elegantes hasta un cierto número, e incluso han utilizado las herramientas informáticas para ello. Así Vicente Casado, ayudándose de una hoja de cálculo, ha obtenido los números elegantes hasta 100, a saber 1 - 7 - 10 - 13 - 19 - 23 - 28 - 31 - 32 - 44 - 49 - 68 - 70 - 79 - 82 - 86 - 91 - 94 - 97 - 100 (estos también han sido obtenidos por otras personas como, por ejemplo, Guadalupe Gutiérrez), y posteriormente hasta 1000, de donde obtuvo las parejas de números elegantes consecutivos hasta esa cantidad, 31-32, 129-130, 192-193, 301-302, 319-320, 367-368, 391-392, 565-566, 622-623, 637-638, 655-656, 912-913, 931-932. Ángel Herrero ha desarrollado un pequeño programa informático para calcular parejas de números elegantes consecutivos y nos ofrece el listado hasta el número 10.000. Y Miguel Ángel Bermúdez ha calculado parejas hasta algo más del 200.000.

Pero no hace falta tener como inicio una pareja de números elegantes consecutivos, basta por ejemplo fijarnos en los números elegantes 10=1^2+3^2 y 13=2^2+3^2, para generar familias de parejas de números elegantes consecutivos, como por ejemplo 1111111111-1111111112, 10111111111-10111111112, 100111111111-100111111112... como hacen Tito Eliatron, Gisela Pujol o Jesús Jimmy Pejendino.

Algunos otros métodos similares a estos, algunos tan simples y otros algo más complicados, aparecen también entre las respuestas enviadas. Destacamos algunas de ellas. Para empezar, algunas personas, como Fabio Sarmiento, Miquel Garriga y Ángel Alonso; han estudiado el comportamiento de la sucesión asociada a cada número en la que cada elemento está definido como la suma de los cuadrados de las cifras del elemento anterior. Recordemos que entonces para el número 2, la sucesión asociada es 2, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, y a partir de aquí la sucesión es cíclica, por eso el número 2 no es un número elegante; o para el número 7 es 7, 49, 97, 130, 10, 1, y se para en 1, luego el 7 es elegante. Y han observado que esos dos comportamientos que acabamos de mostrar son los dos únicos que existen, el primero para los números no elegantes cuya sucesión asociada acaba siempre en el ciclo del 4 y el segundo para los números elegantes, que se para en el 1.

Otra respuesta interesante se la debemos a Salvador Jover Sagarra, quien además de resolver el desafío, nos ofrece un par de joyas: cuatro números elegantes consecutivos, a saber, 7839, 7840, 7841, 7842; un cuadrado mágico de números elegantes:

2112, 4471, 3296;

4477, 3293, 2109;

3290, 2115, 4474.

José Reinaldo Martínez nos envía también tres números elegantes consecutivos, 1880, 1881 y 1882; cuatro números elegantes consecutivos, 7839, 7840, 7841 y 7842; y cinco números elegantes consecutivos: 44488, 44489, 44490, 44491 y 44492.

Pero, sin lugar a dudas, la respuesta más completa se la debemos a Alfonso Pérez Arnal, que empieza ofreciendo una solución sencilla a partir del par 31-32; busca otras parejas con diferentes métodos para ofrecer más soluciones; estudia el comportamiento de la sucesión asociada a cada número, demostrando que efectivamente solo hay dos comportamientos posibles, el ciclo del 4 (números no elegantes) y que se estacione en el 1 (números elegantes); analiza algunas propiedades de los números elegantes; analiza la existencia de tríos de números elegantes consecutivos, cuartetos y quintetos -existen 2.233 parejas entre 1 y 100.000; 96 tríos, donde los primeros son (1880, 1881, 1882), (4780, 4781, 4782), (4870, 4871, 4872), (7480, 7481, 7482); 14 cuartetos, donde los primeros son (7839, 7840, 7841, 7842), (8739, 8749, 8741, 8742), (11248, 11249, 11250, 11251); y 1 quinteto: (444888, 44489, 44490, 44491, 44492)-; estudia cuál es el porcentaje de elegancia del conjunto de los números naturales hasta el 100.000 y, por último, observa que:

Porcentaje de números elegantes en {1, 2, ..., 10.000}: 14,42%

Porcentaje de números elegantes en {1, 2, ..., 20.000}: 15,19%

Porcentaje de números elegantes en {1, 2, ..., 30.000}: 15,46%

Porcentaje de números elegantes en {1, 2, ..., 40.000}: 15,22%

Porcentaje de números elegantes en {1, 2, ..., 50.000}: 15,25%

Porcentaje de números elegantes en {1, 2, ..., 60.000}: 15,15%

Porcentaje de números elegantes en {1, 2, ..., 70.000}: 14,75%

Porcentaje de números elegantes en {1, 2, ..., 80.000}: 14,70%

Porcentaje de números elegantes en {1, 2, ..., 90.000}: 14,55%

Porcentaje de números elegantes en {1, 2, ..., 100.000}: 14,38%

El jueves plantearemos un nuevo reto.

Números elegantes

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