Así se elige un equipo goleador

Ya hay solución para el vigésimo séptimo desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española (ver el vídeo conmemorativo).

El futbolista Juan Mata, campeón del Mundo con la selección española y jugador del Chelsea, propuso el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (vídeo de la derecha). Se han recibido en el plazo marcado 172 respuestas de las que el 71% son correctas. El ganador de una biblioteca matemática como la que cada semana se distribuye con EL PAÍS ha sido José María Rodríguez, de La Laguna (Tenerife).

Recordemos el desafío. Dos porteros de fútbol tenían que seleccionar sus equipos eligiendo entre 20 jugadores puestos en fila y escogiendo cada uno de os porteros alternativamente uno de los dos jugadores que se encuentran en el extremo de la fila. Los porteros conocen el número de goles que cada uno de los jugadores ha marcado en un torneo anterior y el objetivo de ambos es conseguir un equipo que haya marcado más goles que el otro. La primera parte del desafío pedía demostrar que el primero que elige tiene una estrategia para no perder nunca y la segunda parte del desafío preguntaba si existe una estrategia análoga para el primero o para el segundo en elegir si escogen entre un grupo de 21 jugadores (se entiende que se quedará un chico sin jugar).

Para la primera parte basta darse cuenta que si enumeramos los 20 jugadores del 1 al 20 y de izquierda a derecha, es decir, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, el primero en elegir puede decidir si empieza por el jugador número 1 o por el jugador número 20. Es decir, tiene la opción de elegir un jugador en posición impar o un jugador en posición par.

La estrategia empieza por sumar el número de goles marcados en el torneo anterior por todos los jugadores que están en posición par por un lado y, por otro, hacer la suma de los que están en posición impar. Si la suma de los goles marcados por los que están en posición impar es mayor o igual que la de los pares (vamos a suponer que es así, como en el ejemplo que presenta Juan Mata, donde los impares han marcado 53 goles y los pares 48), el portero que elige en primer lugar puede intentar quedarse con todos los jugadores situados en una posición impar, empezando por elegir al jugador número 1.

En este caso, el portero que elige en segundo lugar está entonces obligado a elegir un jugador que se encuentra en posición par, ya que sólo puede elegir el 2 o el 20. Tanto si elige el 2 como si elige el 20, deja al portero que elige en primer lugar la posibilidad de elegir un jugador que se encuentra en posición impar, el 3 (si el segundo ha elegido el 2) o el 19 (si el segundo ha elegido el 20). En ambos casos, obliga al portero que elige en segundo lugar a elegir un jugador que está en posición par. Y así sucesivamente.

Es decir, si el portero que elige en primer lugar escoge el jugador número 1, automáticamente tiene la opción de elegir a todos los jugadores que están en posición impar y por tanto consigue su objetivo (recordemos que estamos suponiendo que la suma de los goles marcados por los que están en posición impar es mayor o igual que la de los que están en posición par).

Si la suma de los pares fuese mayor, el primer portero empezaría por elegir el 20, forzando al segundo a elegir un impar y así sucesivamente.

En cuanto a la segunda parte del desafío, si se ha de escoger entre 21 jugadores no hay estrategia posible que. Para ello veamos dos casos en los que en uno gana claramente el primer portero en elegir y en otro puede ganar claramente el segundo.

Ejemplo número 1: Todos los jugadores marcaron en el torneo anterior 1 gol, menos el que está en primera posición que marcó 2:

2, 1 ,1 ,1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

Claramente, el primero que elige escoge el jugador 1 y consigue el objetivo. Es decir, no hay estrategia posible para el que elige en segundo lugar.

Ejemplo número 2: Todos los jugadores marcaron en el torneo anterior 1 gol, menos el que está en posición 2 que marcó 2:

1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1

En este caso, el que elige en primer lugar está obligado a elegir el que está en posición 21 y ninguno de los dos escogerá el número 1, pues dejaría el mejor jugador en posición 2 libre para ser elegido por el portero contrario.

Pero aún así, el segundo elige el 20, el primero el 19, el segundo el 18, etc, y, por tanto, el número 2 será elegido por el segundo. Luego gana el segundo y el primero no tiene ninguna estrategia para ganar.

Las soluciones correctas a la primera parte han propuesto todas la misma estrategia, pero algunos lectores han ido un poco más alla en su análisis. Por ejemplo José Gayo Millares señala que esta estrategia es no perdedora pero no es óptima en el caso de que los goles totales de los dos grupos sean los mismos, ya que podría ocurrir que incluso en este caso el primer portero pueda ganar siempre. Por ejemplo, con los goles 1-2-2-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-1-2, donde los pares y los impares suman 4, el primer portero gana si comienza por el extremo derecho (2 goles), lo que obliga a que el segundo se quede con un solo gol. Ahora tenemos un problema de 18 jugadores al que aplicamos la estrategia no perdedora, y esto nos da la victoria en el de 20. Esta idea de que el primero en elegir vuelva a evaluar la situación en cada uno de sus turnos ha sido también sugerida por otros lectores.

Las soluciones a la segunda parte son más variadas, y muchos lectores han hecho referencias explícitas a determinados equipos, jugadores y entrenadores. Para no herir susceptibilidades recogemos como ejemplo una alejada en el tiempo y en el espacio, la que nos envía desde Alemania Daniel Richter. Si pensamos en el caso que sólo un jugador haya marcado un solo gol, entonces ganará el equipo con este jugador. Llamaremos Netzer a este jugador.

Caso 1: Si Netzer es el primero o el último en la fila: esta claro que puede elegir A a Netzer, y por eso gana.

Caso 2: Si Netzer no el primero o el último en la fila: Entonces B, siguiendo la estratégia de la parte primera, puede conseguir a Netzer. Y gana.

El caso 2 de Daniel generaliza nuestro ejemplo, y muchos otros lectores han hecho un análisis (en ocasiones muy exhaustivo) en el que, una vez elegido el primer jugador, el problema se reducía al de la primera parte del desafío.

En cuanto a las respuestas no correctas, la más frecuente para la primera parte se parece mucho a la estrategia ganadora pero tiene un fallo sutil por lo que merece comentarse. Se trata de quienes proponen empezar por analizar sólo los goles de los dos jugadores situados en los extremos y sus vecinos, es decir, los que llevan los números 1, 2, 19 y 20 en nuestra solución, y elegir, como hacíamos nosotros, mirando si han marcado más goles el 1 y el 19 o el 2 y el 20. La dificicultad estriba en que el segundo jugador no tiene por qué limitarse a elegir entre estos. Veamos un ejemplo.

Supongamos que los goles marcados son 4-6-25-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0-5-5. El primero compara los extremos 4-6-...-5-5 y ve que el 1 y el 19 han marcado 9 goles y el 2 y el 20 han marcado 11. Elige por tanto al jugador 20. Si el segundo elige al 1, el primero, siguiendo su estrategia, eligirá al 2. Pero entonces el segundo no está obligado a elegir al 19, sino que puede "salirse de la estrategia" y elegir al 3, que con sus 25 goles le garantiza el equipo ganador. Este mismo ejemplo muestra por qué no es buena idea elegir siempre al jugador que más goles haya marcado entre los dos disponibles en cada momento.

El jueves plantearemos un nuevo desafío.

Así se elige un equipo goleador

Cómo elegir un equipo goleador

EL PAÍS Mathematical Challenge presented by Juan Mata