Una estrella con dos ojos

Ya hay solución para el decimosexto desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Carmen Cascante Canut, decana de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Barcelona, planteó el problema (vídeo de la izquierda) y ahora lo resuelven (vídeo de la derecha). Esta semana queríamos construir una molécula plana formada por siete átomos de manera que en toda posible elección de tres átomos se cumpliera que al menos dos de ellos estuviesen a un ångström de distancia. Y pedíamos las coordenadas de la posición en el plano que ocuparían los siete átomos.

Se han recibido 410 respuestas, de las que un 50% son correctas, así que ha sido el desafío con menor número de acertantes hasta la fecha.

La figura pedida sí existe, tal y como explicamos en el pdf adjunto, y viene dado por un pentágono con dos puntos en su interior o como dice el hijo de Christian Chaya "tiene forma de estrella con dos ojos". También puede verse como dos rombos idénticos de lado 1 y diagonal menor 1 con un vértice común, uno girado respecto al otro de manera apropiada tal y como dice en su respuesta José Gayo Millares: "Fijamos un rombo (formado por dos triángulos equiláteros de lado uno) y giramos el otro alrededor del punto de unión hasta que la distancia entre los otros dos extremos de la diagonal mayor sea la unidad".

Respecto a los puntos exactos, el pdf adjunto muestra una solución, pero hay infinitas, pues toda rotación sobre uno de los puntos mantiene las distancias y también podríamos hacer una traslación y poner el origen de coordenadas en cualquiera de los puntos interiores o en un vértice. Por eso pedíamos los valores exactos de las coordenadas, para poder comprobar la validez de las respuestas.

El 65% de las respuestas erróneas proponía un hexágono regular con el origen de coordenadas en el centro. Esta solución no puede ser válida pues tenemos dos posibilidades, si el lado del exágono ABCDEF es 1, un conjunto de 3 vértices no consecutivos, por ejemplo A C y E, no pueden satisfacer la condición pues forman un triángulo equilátero de lado mayor estrictamente que 1. Si el lado del exágono ABCDEF no es 1, entonces cualquier colección formada por dos vértices contiguos y el centro tampoco satisfacen la condición ya que forman un triángulo equilátero de lado distinto de 1.

El 15% de las soluciones no correctas intentaba probar que no podía construirse dicha molécula con los requisitos indicados.

Realizado el sorteo entre los acertantes el agraciado con una biblioteca matemática como la que puede coleccionarse cada domingo con EL PAÍS ha sido Andrés Sáez Schwedt, de León. Esta semana en el quiosco, por 9,95 euros con el periódico, La burla de los sentidos, por Francisco Martín Casadelrrey.

El jueves plantearemos un nuevo desafío.

Una molécula de siete átomos

Un pentágono con dos puntos