Nunca habrá una única clase de partículas

Ya hay solución para el decimocuarto desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. El profesor Antonio Aranda, de la Universidad de Sevilla, planteó el problema (vídeo de la izquierda) y ahora lo resuelven (vídeo de la derecha). La respuesta a la pregunta de esta semana es que no existe una secuencia de choques tal que todas las partículas acaben en el mismo estado. Pero había que demostrarlo. Se han recibido 1.020 respuestas, de las que un 80% eran correctas: demostraban que no era posible llegar a una situación con todas las partículas en el mismo estado y la demostración no tenía errores.

El ganador de una biblioteca matemática como la que reparte EL PAÍS es Carlos Rodríguez Feliciano, de Santa Cruz de Tenerife. Esta semana, en el quiosco con 9,95 euros con el periódico, La verdad está en el límite, de Antonio José Durán.

Como representativa de las respuestas acertadas que han dado los lectores elegimos esta semana la de Fernando Alvarruiz Bermejo, a quien también felicitamos aunque no haya ganado el premio.

Supongamos que hubiera solución, y que todas las partículas fuera finalmente neutras (por ejemplo). Eso quiere decir que habría 0 partículas positivas y 0 negativas, y por tanto el número de partículas positivas sería igual al de negativas.

Por otra parte, la resta entre el número de partículas positivas y el número de negativas, cuando se produce un choque, sólo puede:

- Quedarse como está, si el choque es entre una partícula positiva y otra negativa.

- Aumentar en 3, si el choque es entre una negativa y una neutra.

- Disminuir en 3, si el choque es entre una positiva y una neutra.

En particular, dicha resta sólo varía de tres en tres. Eso quiere decir que la resta sólo puede ser cero si inicialmente es múltiplo de 3. Como la resta inicial es 30-10=20, se deduce que nunca puede ser cero, es decir, que el número de partículas positivas nunca puede ser igual al de negativas.

El mismo razonamiento sirve para justificar que no podemos acabar con partículas todas positivas, o todas negativas.

Todas las soluciones válidas tienen que ver con la división entre 3, pero las ha habido de distintos estilos. Unos demostraban que la diferencia entre el número de partículas en dos estados cualesquiera subía o bajaba en 3 o se mantenía constante con cada choque; otros consideraban la carga total del sistema y veían que también subía o bajaba en 3 o se mantenía constante; unos hacían esto con un lenguaje más sencillo y otros con el lenguaje de congruencias. Usando también congruencias, algunos lectores han considerado directamente el número de partículas y han demostrado que, con el punto de partida del desafío, las 3 cantidades son siempre congruentes con 0, 1 y 2 módulo 3, y que el efecto de los choques es permutar los tres valores.

Hay quienes han escrito un sistema de ecuaciones involucrando el número de colisiones de cada tipo y han demostrado que no admite soluciones que sean números enteros (hay soluciones, pero en todas es necesario un 3 en el denominador). El ganador del concurso, Carlos Rodríguez, está entre quienes ha seguido este camino, con la particularidad de que ha hecho un estudio general para cualquier número de partículas de inicio (no es el único que ha analizado con más amplitud el desafío).

Y también hay quien ha utilizado técnicas más singulares, como Javier Rodríguez, de San Sebastián de los Reyes, que se ha valido de los números complejos, concretamente de las 3 raíces cúbicas de 1 en los complejos.

Ante las dudas expresadas en los foros, aprovechamos para recordar que, aunque intentamos que las soluciones a los desafíos no exijan conocimientos avanzados de matemáticas, entran en el sorteo todas las respuestas correctas, independientemente del camino seguido para alcanzarlas.

El jueves publicaremos un nuevo reto.

Nunca habrá un único tipo de partículas

Partículas en colisión