Un enorme número que acaba... en 52

Ya hay solución para el noveno desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Alberto Elduque, catedrático de Álgebra de la Universidad Zaragoza propuso el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelve ahora: la enorme potencia de dos que buscábamos acaba en 52. El ganador de una biblioteca matemática como la que entrega cada semana EL PAÍS ha sido en esta ocasión Pablo Pajuelo Cabezas. Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el periódico, Una nueva manera de ver el mundo, de María Isabel Binimelis.

Esta semana se han recibido 2.200 respuestas, de las que un 90% daban la respuesta correcta: las dos últimas cifras de la enorme potencia de 2 son 52. La mayoría incluían un argumento razonable, aunque en algún caso faltase algún detalle, pero un 5% se limitaban a decir "Da 52", con lo que no cumplían las condiciones establecidas esta semana. Por tanto se han considerado válidas, y han entrado en el sorteo, un 85% de las respuestas.

Recordemos el problema: Hemos copiado mal una potencia de 2. Sólo sabemos que el exponente empieza por 528, luego hay varias cifras, y termina en 7301. Hay que calcular cuáles serían las dos últimas cifras de tan enorme número.

Los argumentos aceptados van desde simplemente observar la aparición cíclica de las dos últimas cifras, a darse cuenta de que 76x76=**76, hasta argumentos muy limpios, pero que necesitan más lenguaje, usando congruencias.

La solución propuesta por el profesor Elduque es la siguiente:

Buscamos posibles regularidades en las dos últimas cifras de las potencias de 2. Exceptuando la primera: 2^1 = 2, el resto de potencias es un múltiplode 4, luego sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 entre 0 y 99, que no puede acabar en 0, pues el número no es múltiplo de 5. Nos quedan 20 posibles terminaciones para las potencias de 2^a a con a igual o mayor que 2. En consecuencia, partiendo de 2^2, habría alguna repeticiónde las dos últimas cifras en las veinte potencias siguientes:

2^2 : 04

2^3 : 08

2^4 : 16

2^5 : 32

2^6 : 64

2^7 : 28

2^8 : 56

2^9 : 12

2^10 : 24

2^11 : 48

2^12 : 96

2^13 : 92

2^14 : 84

2^15 : 68

2^16 : 36

2^17 : 72

2^18 : 44

2^19 : 88

2^20 : 76

2^21 : 52

2^22 : 04

2^23 : 08

2^24 : 16

...

Comprobamos pues que a partir de 2^2, las dos últimas cifras se repiten de 20 en 20. Esto es: 2^(20+a)= 100 + 2^a (múltiplo de m100 más 2^a) si a es mayor o igual que 2.

Nuestro número inmenso es 2^528......7301 = 2^(528......7280+21) = 2^(20+21), luego las dos últimas cifras de nuestro número son las de 2^21. Así pues, la solución es 52.

Nota: Hay trucos para no tener que calcular las últimas cifras de todas las potencias de 2 anteriores. Por ejemplo:

2^(20+a)= 2^10 x 2^10 x 2^a = (m25-1) x (m25- 1) x 2^a = (m25 + 1) x 2^a = m100 + 2^a; si a es mayor o igual que 2, pues todo múltiplo de 25 por un múltiplo de 4 es múltiplo de 100.

Esta semana quizás sea interesante comentar la respuesta incorrecta más frecuente: el número termina en 00. Esto no puede ser porque un número que termina en 0 es múltiplo de 10, y por tanto múltiplo de 5, pero nuestro número no tiene factores primos distintos de 2. ¿Cómo han llegado pues algunos de nuestros lectores a la solución 00? Parece por las respuestas que, en la mayoría de los casos, usando un ordenador, pero sin darse cuenta de que los programas que usaban tienen precisión limitada y truncan los números (igual que hace una calculadora) cuando superan un cierto tamaño. Así los ceros que aparecían cuando calculaban, por ejemplo, 2^54, no eran los números finales, sino números intermedios, y no es válido el argumento de "a partir de ahí todos acaban en 00 porque 0x2=0".

Nuestros lectores de otros países nos preguntan si ellos también pueden ganar el premio. La respuesta es sí, siempre que den respuestas correctas y resulten agraciados en el sorteo. Respuestas correctas ya han enviado. Que ninguno haya resultado todavía agraciado refleja únicamente que, como es lógico, son menos.

El número enorme termina en 52

Una enorme potencia de 2