El cubo de suma cero... no existe

Y aquí te explicamos algunas posibles demostraciones

Ya hay ganador del octavo desafío que organiza EL PAíS en el primer centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Se trata de Diego Martínez Martínez, de Soria, al que felicitamos y al que enviaremos una biblioteca matemática como la que se ofrece el domingo con EL PAÍS. Esta semana, por cierto, se entrega Una nueva manera de ver el mundo, de María Isabel Binimelis, por 9,95 euros con EL PAíS.

Recordemos el problema: asignamos un número (1 o -1) a cada uno de los vértices de un cubo. Tendremos entonces ocho números. A continuación multiplicamos los cuatro vértices de cada cara para obtener otros seis números, que también tendrán que ser 1 o -1. Pues bien, se trataba de conseguir un cubo en que la suma de esos 14 números dé cero. O demostrar en su caso por qué dicho cubo no puede existir.

Y, efectivamente, ese cubo no puede exisitir... pero hay que demostrarlo. Para este desafío se recibieron 980 respuestas dentro del plazo previsto, de las que el 85% eran correctas. La mayoría daban soluciones similares a la de Izar y Paula (ver vídeo de la derecha), alumnas de 4º de la ESO e integrantes del proyecto ESTALMAT pero un cierto número razonaban correcta y elegantemente de esta manera: Para que la suma de los 14 valores dé 0, debe haber siete +1 y siete -1, de manera que el producto de los 14 números debe ser -1. Pero si llamamos A, B, C, D, E, F, G, H a los valores de los vértices, como cada vértice incide en tres caras distintas, resulta que si multiplicamos los 14 valores obtenemos (ABCDEFGH)^4, una potencia cuarta y por tanto necesariamente un número positivo, lo que es contradictorio con este producto debiese ser -1. Por tanto el cubo de suma cero no puede existir.

Aproximadamente un 5% de las respuestas hace un cálculo caso a caso (alguno a mano, la mayoría con ordenador). Como en el problema del piano, por ser una situación finita esto es una demostración, y se han considerado como respuestas válidas que han entrado en el sorteo. No obstante, citaremos lo que dice uno de los lectores que han contestado así: "El resultado es que nunca da 0. ¿El por qué?, no lo sé. Pero he hecho las 256 combinaciones posibles y en ninguna da cero." Hacer las cuentas caso a caso ayuda a decidir cuál debe ser la solución, pero animamos a nuestros lectores a dar el paso de disfrutar entendiendo el porqué de las soluciones a los retos que se proponen.

Hoy jueves plantearemos el noveno desafío.

Izar Alonso (IES Diego Velázquez de Torrelodones) y Paula Sardinero (Colegio Virgen de Europa de Boadilla del Monte), estudiantes de 4º de ESO que participan en el Proyecto ESTALMAT, presentan el octavo desafío de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Las respuestas pueden enviarse a problemamatematicas@gmail.com antes de la medianoche del martes 10 de mayo (00.00 horas del miércoles). Entre los acertantes sortearemos una biblioteca matemática como la que ofrece cada semana EL PAÍS. Este domingo, por 9,95 euros con el periódico en el quiosco, El enigma de Fermat, de Albert Violant. NOTA IMPORTANTE: Para aclarar dudas y en atención a nuestros lectores sordos, incluimos a continuación el enunciado por escrito. A cada uno de los vértices de un cubo le asignamos un 1, o un -1. Después asignamos a cada una de las caras el producto de los números de sus vértices. ¿Puede hacerse la asignación inicial de manera que la suma de los 14 números (8 de los vértices y 6 de las caras) sea 0? Encontrar tal asignación o demostrar que no existe. Como en el problema del reloj, se recomienda no probar con todos los casos posibles. CONSULTA LOS PROBLEMAS ANTERIORES BERNARDO MARÍN / PAULA CASADO
Ya hay ganador del octavo desafío que organiza EL PAíS en el primer centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Pero aún no podemos confirmar su identidad, porque no se ha puesto en contacto con nosotros. En cuanto nos comuniquemos con él daremos sus datos. Como en las semanas anteriores, será el ganador de una biblioteca matemática como la que se ofrece el domingo con EL PAÍS. Esta semana se, por cierto, se entrega Una nueva manera de ver el mundo, de María Isabel Binimelis, por 9,95 euros con EL PAíS. VER SOLUCIÓN POR ESCRITO Y PROBLEMAS ANTERIORES BERNARDO MARÍN / PAULA CASADO

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