Desafío matemático electoral: se resuelve el misterio del escaño robado

Ya hay solución para el último desafío matemático electoral presentado por EL PAÍS y la Real Sociedad Matemática Española. Recordemos que se trataba de presentar un ejemplo en el que haya un partido al que el Método de Sainte-Lagüe no le asigna todos los escaños enteros que le corresponderían atendiendo a su cuota.

Nos propusieron el desafío Angélica Benito Sualdea y Adolfo Quirós Gracián, profesores de la Universidad Autónoma de Madrid, que nos dan ahora su solución.

Supongamos que tenemos que repartir 5 escaños entre 5 partidos, que han recibido respectivamente 21.000, 7.400, 7.300, 7.200 y 7.100 votos, de modo que en total han votado 50.000 personas.

Como 21.000/3=7.000 < 7.100, Sainte-Laguë asigna un escaño a cada uno de los 5 partidos, a pesar de que la cuota del primero es:

5 x 21.000 / 50.000 = 2,1>2

¿Cómo hemos encontrado este ejemplo? Puesto que Sainte-Laguë dificulta con respecto a d'Hondt obtener el segundo escaño, ya que se divide entre 3 en lugar de entre 2, hemos buscado que un partido "grande" con cuota>2 no obtuviese su segundo escaño antes de que n partidos pequeños obtuviesen el primero.

Supongamos que hay n partidos (pequeños), con v votos cada uno, y un partido "grande" con V votos, y que se trata de repartir n+1 escaños. Buscamos dos cosas:

1) Cuota de del partido grande mayor que 2: V x (n+1) / (nv+V) >2. Esto equivale a (n+1)V > 2nv+2V, o lo que es lo mismo, V > 2nv /(n-1)

2) El partido grande obtiene el segundo escaño después de que los demás obtengan el primero: V/3<v

Poniendo ambas condiciones juntas, lo que buscamos es que:

3v > V > 2nv /(n-1)

 Por tanto es necesario que 3> 2n/(n-1), de modo que 3n-3>2n, es decir, n>3.

 Podemos tomar n=4 y entonces lo que nos hace falta es que haya enteros v y V que cumplan

 3v > V > 8v/3

 No se puede tomar v=3, porque no hay ningún entero V tal que 9>V>8, pero sí podemos tomar v=4 y V=11 ya que 3x4> 11> 8 x4 /3

 Por tanto podríamos haber repartido 5 escaños entre 5 partidos con 11, 4, 4, 4 y 4 votos (u 11.000, 4.000, 4000, 4.000 y 4.000, si queremos números más grandes).

 Pero hemos intentado encontrar un ejemplo en el que no hubiese partidos empatados y en el que las cuentas saliesen "sin infinitos decimales". Para eso hemos buscado una situación con 5 escaños y 5 partidos en la que los 4 partidos pequeños tuviesen v, v+1, v+2 y v+3 votos y la cuota del grande fuese exactamente 2,1, lo que nos lleva a las siguientes condiciones:

 5V/(4v+6+V)=2,1 y V<3v

 Trabajando un poco, y atendiendo a la divisibilidad, hemos llegado a la solución v=71 y V=210, y multiplicando por 100 ha resultado el ejemplo con el que hemos empezado: repartir 5 escaños entre 5 partidos, que han recibido respectivamente 21.000, 7.400, 7.300, 7.200 y 7.100 votos.

Se han recibido 60 respuestas en el corto plazo que hemos dado esta vez para enviar soluciones, de las que 13 no podemos considerarlas correctas (en general se han despistado en alguna cuenta, y lo que dan no es realmente un ejemplo de lo que buscábamos).

Entre los ejemplos válidos, los hay de todo tipo: con números grandes y pequeños; repartiendo muchos escaños o pocos; unos con cifras redondas y otros con cocientes con infinitos decimales; a veces buscando que los datos parezcan reales y otras preocupándose por encontrar la solución más pequeñas.

 En cuanto al procedimiento, casi todos los lectores se han dado cuenta de que, al dividir por números mayores que D'Hondt, Sainte-Laguë va a perjudicar al partido grande. A partir de esa observación, unos han buscado un ejemplo tanteando; otros han seguido nuestro camino y han utilizado fórmulas para encontrar valores adecuados de los parámetros; y un grupo nutrido se ha valido del ordenador para barrer un conjunto amplio de posibilidades hasta encontrar una solución.

 Algunos lectores han ido más allá de lo que se pedía. Por ejemplo, Peter T. es de los que ha intentado buscar el ejemplo "más pequeño", pero ha añadido una explicación de cómo eso puede depender de las reglas de desempate. Álvaro A. ha generado un ejemplo con los datos del sistema electoral español visto como circunscripción única: 350 escaños y 37.000.608 votantes (según el INE, aclara). Por su parte, Joaquín S. nos ha presentado un ejemplo sencillo en el que un partido pierde no uno, sino dos escaños con respecto a la parte entera de su cuota.

Pero la solución que nos ha parecido más espectacular es la de José Ramón E., que la ha llamado Blancanieves y los siete enanitos. Ha encontrado un ejemplo con 13 escaños a repartir entre 8 partidos en el que Blancanieves, con el 64,98 % de los votos (lo que corresponde a una cuota de 8,4), se lleva sólo 6 escaños, mientras los otros 7 van uno a cada enanito. Observa José Ramón que esto podría ser una caso real, por ejemplo en un ayuntamiento, en el que una alianza pos-electoral de siete partidos que sumasen entre todos sólo el 35,02 % de los votos se hiciese con la alcaldía, mandando a Blancanieves a la oposición.

Consideramos que este ingenioso ejemplo hace a José Ramón E. merecedor de recibir, como regalo de la RSME, el libro Soluciones ¡Ajá! de Martin Erickson, que forma parte de la Biblioteca Estímulos Matemáticos que la sociedad publica conjuntamente con Editorial SM.

 Esperamos que hayáis disfrutado y que hayáis aprendido algo más sobre las dificultades que entraña repartir proporcionalmente objetos no divisibles, como son los escaños.