¿Pueden las matemáticas desbloquear la situación política?

La política es la disciplina que estudia el poder. Para analizar este campo, un buen trozo de madera al que aferrarse para no zozobrar son las matemáticas. Una primera herramienta para cuantificar el poder es el índice Banzhaf (IB) que registra el número de coaliciones ganadoras en las que un sujeto político resulta imprescindible. Vamos a poner un ejemplo ficticio. En una alcaldía se requieren un mínimo de ocho concejales para aprobar una medida. Supongamos que hay tres partidos A, B y C, y A tiene seis concejales, B tiene tres y C tiene dos. Las coaliciones ganadoras son AB, AC y ABC. El partido A es crucial en las tres coaliciones, mientras que B y C sólo son imprescindibles en AB y AC, respectivamente. Entonces, IB(A)=3/5, mientras que IB(B)=IB(C)=1/5. Vemos que el poder de un partido no lo determina su número de representantes el número de escaños, sino su IB. La paradoja de los nuevos miembros afirma que al ampliar el reparto del poder a nuevos miembros, el IB de los antiguos no decrece. Este resultado es generalizable a todo índice de poder consistente.

La información y el poder son conceptos íntimamente relacionados. Los medios de comunicación difunden noticias, respaldando o disminuyendo la auctoritas de un gobernante y de un sistema. Por otro lado, el origen del término “estadística”, que viene de “estado”, no es casual, ya que desde la antigüedad, los estadistas mandaban elaborar censos, catastros, muestreos y establecer correlaciones entre fenómenos sociales. Y cuanta más información tenga un político, mejor puede elaborar su estrategia y un plan de acción. En la era de la computación, el big data y el machine learning son herramientas imprescindibles en el tratamiento de la información y en la toma de decisiones.

Con estos avances tecnológicos, ¿sería posible la representación directa, donde cada ciudadano votara sus preferencias desde su teléfono inteligente? La paradoja de Condorcet, la paradoja de Arrow y el teorema de la dictadura escondida de Kirman-Sondermann son resultados matemáticos que niegan esta posibilidad, sin que aparezca un dictador o una oligarquía cuyo criterio coincidiría siempre con las preferencias colectivas. Estas conclusiones respaldan la ley de hierro de las oligarquíasdeRobert Michels, que afirma que toda organización social siempre está dominada por un pequeño núcleo de personas, debido a razones de eficiencia, iniciativa y táctica.

En el sistema democrático actual, para respetar los intereses de la sociedad civil que no está presente en la toma de decisiones, ni en la elaboración de leyes, se necesita la representación política. La unidad mínima de poder es el distrito y el sistema electoral que se emplea para elegir diputados varía en función de los países. En el mundo anglosajón se usa un sistema uninominal, en el que se elige a un único representante que actúa por mandato imperativo, atendiendo a las quejas de su distrito. En España está en vigor el sistema D'Hondt, en el que los partidos obtienen diputados correspondientes a un algoritmo con sucesivas ordenaciones dependiendo de los votos y divisiones.

La votación es un hecho político fundamental porque además de elegir representantes, mide la legitimación del sistema. Pero si es tan importante, cabría preguntarse por el papel de los referendos en la vida política. A este respecto, desde el punto de vista matemático, conviene aclarar que una proposición que se somete a votación ha de cumplir dos requisitos: no puede ser una verdad o una falsedad lógica (paradoja de Wollheim) y no puede negar el sistema en el que ha sido elegida (paradoja de la democracia).

Para entender las negociaciones políticas de la investidura en España, es útil conocer algunas estrategias. Desde el punto de vista económico, Anthony Downs, autor de La teoría económica de la democracia explica las adaptaciones ideológicas de las distintas formaciones para ocupar el máximo espectro, como los hoteles para ocupar la máxima longitud de costa. Un famoso modelo de teoría de juegos, el dilema del prisionero, nos enseña que dos jefes no suelen cooperar asumiendo riesgos en común, sino que la estrategia dominante es mirar por su interés particular. El juego de la gallina consiste en frenar un coche lo más cerca posible de un acantilado sin caer; y el ganador es aquel que queda más cerca del precipicio. Este juego explica numerosos fenómenos políticos, como los actuales conflictos entre partidos a la hora de aceptar exigencias para pactar.

Luis Ángel Calvo Pascual es profesor ayudante en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería ICAI.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT).

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