Y D’Hondt repartió los escaños

Ya hay solución para el segundo de los desafíos matemáticos electorales presentado por EL PAÍS y la Real Sociedad Matemática Española. Angélica Benito Sualdea y Adolfo Quirós Gracián, profesores de la Universidad Autónoma de Madrid, propusieron el desafío y nos dan ahora la solución.

Recordemos que teníamos tres partidos, A, B y C, que, en el conjunto de dos provincias, han obtenido respectivamente 63, 68 y 69 votos. Estos 200 electores viven 100 en cada una de las dos provincias, pero no sabemos cómo se distribuyen los votos entre las provincias.

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Si en cada provincia se eligen 3 diputados, que se asignan utilizando el método D'Hondt, el desafío consistía en encontrar (y justificar) el número máximo y mínimo de escaños que puede lograr el partido A según estén distribuidos los 200 electores.

La respuesta, que han dado correctamente un 80% de los más de 100 lectores que han enviado soluciones dentro del plazo marcado, es que A obtendrá al menos 1 escaño y nunca más de 3.

Logra 3 escaños, por ejemplo, con la siguiente distribución de votos:

Obsérvese que en este ejemplo la distribución de los 6 escaños de las dos provincias es 3 para A, 2 para B y 1 para C, justo en orden inverso al de los votos totales.

Con esta otra distribución, prácticamente simétrica a la anterior, A obtiene 1 escaño:

Ahora la distribución de los 6 escaños de las dos provincias es 1 para A, 2 para B y 3 para C, lo que era de esperar dada la simetría.

En ningún caso puede A quedarse sin escaños, porque, al dividirse sus 63 votos entre dos provincias, en alguna de ellas tiene que obtener al menos 32 votos. En esa provincia los como mucho 68 votos de los otros dos partidos no son suficientes para conseguir los 3 escaños porque 32>68/3.

Nos falta demostrar que A no puede alcanzar el cuarto escaño.

Para ganar 3 escaños en una provincia el partido A necesita al menos 60 votos porque, con 59 los otros dos partidos se repartirían los 41 votos restantes, y uno de ellos tendría al menos 21 votos y nos ganaría un escaño porque 21>59/3. Eso le deja sólo 3 votos para la otra provincia, con los que no alcanza de ninguna manera para un escaño.

La otra posibilidad sería ganar 2 escaños en cada provincia. Pero sólo el partido con más votos en la provincia puede ganar 2 de los 3 escaños, así que A tendría que ganar en ambas provincias, para lo que necesita tener en total más votos que B y que C, lo que no es el caso.

Aprovechamos para satisfacer la curiosidad de algunos lectores que, aunque no es relevante para el desafío, han preguntado cómo se resuelven los empates. Por ejemplo, ¿cómo se reparten los escaños si en una provincia A obtiene 60 votos mientras que B y C logran 20 cada uno? Los dos primeros escaños se asignan a A por sus cocientes 60/1=60 y 60/2=30, pero para el tercer escaño hay un triple empate a 20.

Esta situación la tiene que resolver la legislación electoral. En el caso de España, la Ley Orgánica del Régimen Electoral General indica, en el apartado 1, d) de su artículo 163, dice:

"Cuando en la relación de cocientes coincidan dos correspondientes a distintas candidaturas, el escaño se atribuirá a la que mayor número total de votos hubiese obtenido. Si hubiera dos candidaturas con igual número total de votos, el primer empate se resolverá por sorteo y los sucesivos de forma alternativa".

Aplicando esta norma a nuestro ejemplo, también el tercer escaño sería para el partido A.

Esta duda ha afectado especialmente a quienes han resuelto el desafío utilizando un ordenador para calcular el reparto de escaños en todas las situaciones posibles, y se han encontrado con la necesidad de resolver empates. Este método es válido y, por supuesto, lo hemos aceptado cuando la respuesta era correcta, aunque quizás no sea el más iluminador. Se corre además el riesgo de olvidarse de alguno de los 3.424 casos posibles (o 1.712 si consideramos que la situación es simétrica para ambas provincias).

Algo distinto es lo que ha hecho, entre otros, María José E., que ha combinado la búsqueda con ordenador (al fin y al cabo nosotros también hemos buscado ejemplos), con un argumento para mostrar la imposibilidad.

La mayoría de los lectores han dado soluciones en un lenguaje parecido al nuestro. Es especialmente concisa la de Victor Manuel de P., y muy elegante la "solución familiar" que han enviado Enrique T. y su hija Leyre.

Otros han optado por escribir detalladamente todas las desigualdades que imponen las condiciones y resolver los correspondientes sistemas de inecuaciones. Lo han hecho de manera gráfica Rafael C. o Aitor S., entre otros.

Entre las más de 100 soluciones recibidas las hay procedentes de distintos países de Europa y América. Nos ha hecho especial ilusión la que ha enviado Daniel E. G., que trabaja en la Corte Electoral de Uruguay.

La RSME ha decidido seleccionar un lector entre los que han resuelto el desafío para enviarle un ejemplar del libro Soluciones ¡Ajá!, de Martin Erickson , que forma parte de la Biblioteca Estímulos Matemáticos que publica conjuntamente con Editorial SM. La agraciada ha sido Susana C.

Os esperamos en el tercer desafío matemático electoral, previsto para la segunda semana de mayo y que tratará sobre coaliciones.