Matemáticas alrededor de la tabla periódica

La Asamblea General de la ONU ha proclamado 2019 como el año internacional de la tabla periódica, para celebrar los 150 transcurridos desde que el químico ruso Dmitri Mendeléyev diera a conocer su primera versión de la misma. Aquel ordenamiento de los elementos, según su número de protones y sus afinidades químicas, resultó ser una herramienta muy valiosa para explicar procesos químicos conocidos y anticipar nuevos descubrimientos.

La tabla plantea muchas cuestiones básicas cuya explicación matemática, de forma deductiva y rigurosa desde los primeros principios, supone un enorme y fascinante desafío intelectual. Un ejemplo es la propia noción de periodicidad en la ordenación de los elementos; otro son los conceptos de valencia, orbital y energía de ionización, pero también el que haya ciertos números especiales de electrones (2, 10, 18, 36, 54,… ) que impiden a los gases nobles participar en ninguna reacción.

El modelo atómico introducido por Max Born y Robert Oppenheimer está considerado como el más apropiado sobre el que construir la teoría matemática de la tabla. Según esta aproximación, un átomo consta de un núcleo (de carga Z), que podemos suponer en el origen de coordenadas, y de Z electrones cuantizados que están descritos por la función de ondas Ψ. Permitiéndonos la licencia de no tener en cuenta el “spin”, esta es una función cuyo valor depende solamente de las posiciones de los electrones. La energía del átomo viene dada por el hamiltoniano, H, en cuya expresión aparece la constante de Planck, la masa del electrón, su carga y las posiciones, que son vectores en el espacio tridimensional. H es suma de tres términos distintos: uno representa la atracción electrostática protón-electrón; otro la repulsión, también electrostática, electrón-electrón; mientras que el tercero captura la energía cinética de los Z electrones.

La diferencia fundamental con las ecuaciones que describen el modelo clásico es que el término correspondiente a la energía cinética (un medio de la masa por el cuadrado de la velocidad) es reemplazado por un operador diferencial de segundo orden en el modelo cuántico. Además, valores observables como la posición, el momento cinético, o la energía, se convierten en operadores sobre el espacio de las funciones de onda. Estas funciones además tienen una interpretación probabilística: la integral del cuadrado de su valor absoluto da la probabilidad de que el electrón se encuentre en una región dada del espacio.

Pero mientras que en la mecánica clásica los valores posibles de la energía son simplemente los valores del hamiltoniano, que en esa teoría es una función definida en el espacio de las fases, en mecánica cuántica los valores de la energía, obtenidos en las observaciones espectroscópicas de la luz emitida por los átomos son, precisamente, las cantidades E (llamadas autovalores) para las que la ecuación HΨ= EΨ tiene una solución no nula.

En el caso de Z=1, que corresponde al átomo de hidrógeno, conocemos los valores E (llamados números cuánticos) y también las soluciones de la ecuación HΨ= EΨ. Por tanto, se dispone de un modelo matemático muy completo que permite explicar satisfactoriamente las propiedades químicas de este elemento.

Sin embargo, el caso Z >1 es mucho más difícil y carecemos de soluciones explícitas. El espacio de las funciones de ondas Ψ es mucho más complicado. Una de sus propiedades conocidas es que son funciones de cuadrado integrable y antisimétricas; es decir, Ψ cambia de signo cuando se intercambian las posiciones de dos electrones. Esta propiedad es fundamental en la teoría y codifica el llamado principio de exclusión de Pauli, que afirma que los electrones son partículas indistinguibles que obedecen a la estadística de Fermi-Dirac (asociada a tiradas de dados indistinguibles).

El estado fundamental, es decir, el estado de energía más bajo posible del átomo, viene descrito por su función de onda Ψ que minimiza la energía, y se corresponde con el menor autovalor del hamiltoniano, HΨ= E(Z)Ψ , en el espacio antes descrito de funciones de onda (que sabemos que son antisimétricas y de cuadrado integrable). Conocer expresiones precisas para el valor de esa energía E(Z) es un primer paso fundamental para entender matemáticamente la periodicidad de la tabla.

Actualmente sabemos que E(Z) tiene un desarrollo en serie, cuyos tres primeros términos son potencias del número de electrones Z con exponentes decrecientes (7/3, 2 y 5/3), multiplicadas por unos coeficientes bien determinados. El primero de los términos fue conjeturado por Enrico Fermi en 1927 y demostrado rigurosamente por Elliott Lieb y Barry Simon en 1977; el segundo propuesto por J.M.C Scott en 1950 y probado por Webster Hughes en 1990; mientras que el tercero fue conjeturado por Julian Schwinger y Paul Dirac y finalmente demostrado por Charles Fefferman y Luis Seco en el año 1991. Esos términos pueden ser deducidos con sencillas intuiciones físicas, pero todos requieren complicados argumentos matemáticos para ser rigurosamente demostrados.

El siguiente término de E(Z) es de naturaleza más complicada (no es una potencia de Z) y tiene un carácter oscilatorio (suma trigonométrica casi periódica), que le otorga un particular interés a la hora de justificar matemáticamente la tabla periódica, y pudiera muy bien ser el término de la energía aportada por los electrones de valencia. Algunos resultados se han publicado al respecto, entre ellos, el que firma el autor junto con Fefferman y Seco, donde establecimos una conexión de esta función con una conjetura famosa de la teoría de los números (el llamado problema del círculo y el retículo). De manera que pudimos utilizar las estimaciones de sumas trigonométricas tan útiles en la teoría analítica de los números para avanzar en el objetivo, todavía lejano, de vislumbrar la química desde el razonamiento matemático más riguroso. El reto sigue abierto.

Antonio Córdoba es director del ICMAT y catedrático de la Universidad Autónoma de Madrid

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

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