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La constante de Conway

¿Cuál es la siguiente fila de esta peculiar construcción numérica?

Secuencia de Conway.
Secuencia de Conway.

Los acertijos suelen ir al final de esta sección; pero en este caso empezaremos por uno, puesto que es en sí mismo el tema del artículo:

¿Cuál es el siguiente número de la secuencia 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211…?

Es posible que te hayan propuesto esta secuencia numérica como uno de esos acertijos de salón a medio camino entre el problema de ingenio y la broma; y hasta es posible que al conocer la solución te hayas reído. Y sin embargo es un asunto muy serio.

Normalmente, las soluciones de los acertijos quedan para la semana siguiente; pero en este caso tengo que darla ya para seguir avanzando (perdón por el spoiler): el aspecto aparentemente jocoso de la cuestión es que cada fila es la descripción “taquigráfica” de la anterior: un uno; dos unos; un dos y un uno; un uno, un dos y dos unos; tres unos, dos doses y un uno…

El gran matemático británico John Conway estudió esta secuencia, denominada Look-and-See (mira y di) por su peculiar forma de generación, y derivó de ella la constante que lleva su nombre, que es un número irracional algebraico: 1,30357… (un número algebraico es solución de una ecuación, y la constante de Conway es la única solución real positiva de una ecuación de 71º grado).

La constante de Conway aparece independientemente de cuál sea el número inicial de la secuencia, cuyos términos crecen indefinidamente excepto en un caso. ¿Cuál es el número inicial que “bloquea” el crecimiento de la secuencia?

Más difícil todavía: la constante de Conway es el valor hacia el que tiende la razón entre…

Es fácil encontrar las respuestas en la red; pero más fácil aún es buscar las soluciones de un libro de acertijos en las páginas del final, así que invito a mis sagaces lectoras/es a que intenten contestar las preguntas anteriores sin hacer trampa; la diversión y las sorpresas están garantizadas.

El triángulo de Pascal

Y en este capítulo al revés, ahora viene lo que suele ir al principio, o sea, las soluciones de la semana pasada. Para encontrar las potencias de 2 en el triángulo de Pascal, no hay más que sumar los números de cada fila:

1 = 20

1 + 1 = 21

1 + 2 + 1 = 22

1 + 3 + 3 + 1 = 23

……….

Un poco menos evidente es la forma de hallar en el triángulo de Pascal los números de Fibonacci, que vienen dados por las sumas sucesivas de las diagonales del triángulo desde arriba a la derecha hacia abajo a la izquierda.

Y una interesante propiedad relacionada con los números primos: si el primer elemento de una fila (sin contar el 1) es un número primo, todos los demás números de la fila serán divisibles por él.

Y para terminar (que en este caso equivale a decir “para empezar”), el triángulo de Pascal remite indirectamente al de Conway, como ha señalado Eduardo Suárez (ver comentario 59 de la semana pasada).

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.