Cómo calcular áreas contando puntitos

Os voy a proponer un problema. Imaginad que queremos calcular el área de este polígono irregular:

En principio, la cosa parece complicada: no tenemos datos sobre longitudes ni algún tipo de referencia para comenzar a pensar. Podríamos triangular el polígono (recordad que todo polígono es triangulable), hacer mediciones a mano y después utilizar la fórmula para calcular el área de un triángulo, pero corremos el riesgo de cometer algún error al medir (aunque sea pequeño), lo que provocaría que el resultado que obtendríamos para el área no sería exacto.

Vamos a buscar alguna referencia antes de seguir pensando. Tomamos unos ejes coordenados y colocamos el vértice inferior izquierdo en el origen, en el punto (0,0):

Como podéis ver en la imagen, se da la curiosa circunstancia de que el resto de vértices de nuestro polígono también están situados en puntos cuyas dos coordenadas son números enteros. Pues para este caso disponemos de una manera muy sencilla, e inesperada, de calcular el área del polígono. Veamos cómo podemos hacerlo.

Coloquemos ahora una cuadrícula mediante la cual podamos ver con facilidad todos los puntos con coordenadas enteras que hay en la zona donde tenemos dibujado nuestro polígono:

Marcamos ahora en la cuadrícula todos los puntos que quedan en el interior del polígono (en rojo en la siguiente imagen) y todos los que quedan exactamente sobre alguno de los lados del mismo, incluso los vértices (en azul en la imagen). En este caso, nos quedaría algo así:

Contemos ahora cuántos hay de cada tipo. Tenemos 30 puntos en el interior (en rojo) y 10 puntos en el borde del polígono (en azul). Ahora dividimos la cantidad de puntos del borde entre 2, le sumamos la cantidad de puntos del interior y restamos 1 al resultado. En nuestro ejemplo, obtenemos 30 + 5 – 1 = 34. Bien, pues el área de nuestro polígono es exactamente 34.

Aquí tenéis una imagen en la que podemos ver el valor del área que nos da el programa GeoGebra (debajo del polígono) y el valor que nos dan las operaciones que acabamos de describir:

Esto significa que para calcular el área de un polígono cuyos vértices tienen todos coordenadas enteras simplemente hay que contar puntos interiores y puntos del borde y realizar las operaciones citadas. Curioso y inesperado, ¿verdad?

Este resultado se conoce como teorema de Pick, debido a que fue el matemático austriaco Georg Alexander Pick quien lo demostró en el año 1899. Aquí tenéis el enunciado más o menos formal del teorema:

Dada una cuadrícula en la que cada intersección corresponde con un punto del plano, supongamos que tenemos un polígono P sin agujeros cuyos vértices están todos situados en intersecciones de la cuadrícula. Si I es el número de intersecciones que quedan en el interior del polígono y B el número de intersecciones que quedan sobre algún lado del mismo, se tiene que el área de dicho polígono puede calcularse mediante la siguiente fórmula:

A = I + B/2 – 1

Aunque demostrar este teorema no es excesivamente difícil, creo que excede las pretensiones de este artículo, por lo que he decidido no incluir ninguna demostración del mismo. De todas formas, no es difícil encontrarla por internet. Si alguien encuentra alguna demostración de este teorema (se conocen varias esencialmente distintas) que vea con interés para compartirla con nosotros, le agradeceremos que nos hable de ella en los comentarios.

Aunque la restricción de que todos los vértices tengan coordenadas enteras puede rebajar un poco la euforia matemática que debería invadir nuestras mentes al conocer este teorema, no se puede negar su interés y, sobre todo, lo inesperado de la relación entre el área de un polígono y cantidades de puntitos. Seguro que, si no lo conocíais, os ha sorprendido.

Y un último apunte: en tres dimensiones no tenemos un resultado que sea directamente equivalente al teorema de Pick, ya que hay poliedros cuyos vértices tienen todos coordenadas enteras para los que su volumen no coincide con el resultado que nos daría el teorema de Pick. Una lástima.