Agujeros negros numéricos

El mundo de las matemáticas está repleto de curiosidades, ya sean numéricas, geométricas, probabilísticas o de cualquier otro tipo. En el tiempo de vida de este blog hemos visto ya algunas de ellas, y hoy vamos a ver otras relacionadas exclusivamente con propiedades de números naturales. En concreto, vamos a ver algunos casos de lo que a mí me gusta llamar agujeros negros numéricos, que son algo así como números que, después de unas sencillas operaciones, “atraen” a muchos otros números. Seguid leyendo y entenderéis mejor qué quiero decir con esto.

Comencemos con un sencillo pasatiempo cuyos protagonistas son números de cuatro cifras. Toma uno cualquiera (que no tenga todas las cifras iguales), por ejemplo el 4272. Construye con sus cifras el número más grande posible, que en este caso sería el 7422, y el más pequeño posible, que ahora sería el 2247, y réstalos. En nuestro ejemplo nos quedaría

7422 – 2247 = 5175

Repite el proceso con el resultado obtenido (si te ha quedado un número de tres cifras, pon un cero a la izquierda para poder formar después números de cuatro cifras). En nuestro caso:

7551 – 1557 = 5994

Vuelve a realizar el mismo procedimiento con todos los resultados que vayas obteniendo. Lo hacemos con nuestro número:

9954 – 4599 = 5355

5553 – 3555 = 1998

9981 – 1899 = 8082

8820 – 0288 = 8532

8532 – 2358 = 6174

Siempre, sea cual sea el número inicial, llegarás al número 6174, y ya no saldrás de él, ya que:

7641 – 1467 = 6174

Como decíamos al principio, el 6174 acaba absorbiendo a todos los números naturales de cuatro cifras como si fuera un agujero negro, numérico en este caso.

El número 6174 es conocido como “contante de Kaprekar”, y acaba absorbiendo a todos los números de cuatro cifras (que no las tengan todas iguales).

Este número 6174 se conoce como constante de Kaprekar, ya que fue el matemático indio Rattatreya Ramachandra Kaprekar quien lo descubrió.

Más concretamente, 6174 es la constante de Kaprekar para cuatro cifras, ya que para número con otras cantidades de cifras podemos probar a realizar el mismo procedimiento y ver qué ocurre. Os invito a que probéis para números de dos cifras y también para números de tres cifras, y en los comentarios nos contéis lo que hayáis sacado en claro. Para números de cinco o más cifras también podéis probar, aunque os llevará algo más de tiempo encontrar lo que ocurre en esos casos.

Veamos un nuevo caso de estos agujeros negros numéricos. Tomemos ahora un número de tres cifras que no sea capicúa, por ejemplo el 112. Lo invertimos, obteniendo en nuestro caso el 211, y realizamos la resta del mayor menos el menor:

211 – 112 = 99

Si, como en nuestro ejemplo, obtenemos un número de dos cifras, añadimos un cero a la izquierda igual que habríamos hecho en el caso anterior. Por tanto, ahora tendríamos el número 099. Volvemos a invertir el resultado y sumamos los dos números:

990 + 099 = 1089

Probad con cualquier otro número no capicúa de tres cifras, da igual cuál sea, y después de realizar las operaciones comentadas siempre llegaréis al 1089. De nuevo tenemos un número, el 1089 en este caso, que se acaba tragando a una buena cantidad de números (los de tres cifras no capicúas) después de “cocinarlos” con unas sencillas operaciones.

Y vamos con un ejemplo más. Toma ahora un número natural cualquiera, ya sea de una, de dos, de cinco, de cien o de cualquier otra cantidad de cifras. Cuenta ahora cuántas de esas cifras son pares y cuántas son impares, y después forma otro número colocando primero la cantidad de cifras pares, después la cantidad de impares y a continuación la cantidad total de cifras que tenía el número inicial. Repite el proceso todas las veces que puedas.

Como en los casos anteriores, vamos a ver un ejemplo. Tomemos el número siguiente:

327257324900389642892020287634325256

Tiene 22 cifras pares (recordad que el cero es par)

327257324900389642892020287634325256

y 14 cifras impares

327257324900389642892020287634325256

Como tiene 36 cifras en total, obtenemos el número siguiente:

221436

Ahora tenemos 4 cifras pares, 2 impares y 6 cifras en total, con lo que obtenemos el número:

426

Repetimos el proceso. Ahora hay 3 cifras pares, 0 cifras impares y 3 cifras en total, llegando al:

303

Ahora hay 1 cifra par, 2 impares y un total de 3 cifras, consiguiendo el 123. Y de aquí no salimos, ya que volvemos a tener 1 par, 2 impares y 3 en total, con lo que llegaríamos de nuevo al 123.

El 123 tiene la “capacidad” de tragarse a todos los números naturales tras unas sencillas operaciones de conteo de cifras pares, impares y totales.

Este número 123 se traga a todos los números naturales, independientemente del número de cifras, después de “tratarlos” con estas simples operaciones que hemos comentado. Podéis probar con cualquier otro número, siempre llegaréis al 123. Por cierto, la demostración de esto es bastante sencilla. ¿Alguien se “atreve” a intentar demostrarlo y contarnos dicha demostración en los comentarios?

Y, para finalizar, un caso más de agujero negro numérico que conocí no hace mucho tiempo. Toma un número natural cualquiera mayor que 1, calcula sus divisores (incluyendo al 1 y al propio número) y después suma todas las cifras de dichos divisores. Repitiendo el proceso con todos los resultados que vayas obteniendo, siempre acabarás en el número 15. En esta ocasión os dejo que probéis vosotros con distintos números y que comprobéis que en realidad es así.

Los que hemos visto en este artículo son solamente algunos ejemplos de los muchos agujeros negros numéricos que podemos encontrar a lo largo y ancho de los números naturales. Seguro que vosotros conocéis más casos parecidos a los expuestos aquí. Si es así, os agradeceremos mucho que nos habléis de ellos en los comentarios.