Las matemáticas de la fecha del Domingo de Resurrección

Estamos en plena Semana Santa, época importante para los católicos en las que las procesiones son las grandes protagonistas. En esta semana, son varias las fechas señaladas para los creyentes: Domingo de Ramos, Jueves Santo, Viernes Santo o Domingo de Resurrección.

La Semana Santa suele celebrarse en alguna semana de marzo o abril, pero no todos los años cae en las mismas fechas. ¿Cómo se elige la semana de celebración? Si alguna vez pensaste que se hacía de manera aleatoria o a dedo, te diré que estás equivocado: la elección de la semana de Semana Santa se hace con matemáticas. Y hoy vamos a explicar cómo se hace dicha elección mediante el cálculo de la fecha del Domingo de Resurrección.

Antes de meternos con las matemáticas, hablemos un poco sobre la historia del día de Pascua de Resurrección. En el año 325, en el Concilio de Nicea, se establecen las reglas para el cálculo del día de Pascua de Resurrección (hasta ese momento había distintos grupos que hacían el cálculo de manera distinta): la celebración debía ser en domingo, no podía coincidir con la Pascua judía y no debía celebrarse más de una vez cada año.

Esto solucionó más o menos el tema, pero todavía seguía habiendo diferencias, principalmente relacionadas con la forma de calcular la edad de la Luna. Finalmente, Dionisio el Exiguo estableció en el año 525 las bases para el cálculo de la fecha de la Pascua de Resurrección. Estas bases son las siguientes:

- Debe ser un domingo.

- Ese domingo debe ser el siguiente a la primera luna llena de la primavera boreal (aunque si esa fecha cae en domingo, se traslada al domingo siguiente para no coincidir con la Pascua judía).

- La luna pascual es la que cumple que su plenilunio se produce en el equinoccio de primavera des hemisferio norte o inmediatamente después. Dicho equinoccio es el 21 de marzo.

- Se necesita saber el día del ciclo lunar en el que está la Luna el 1 de enero del año del que queremos hacer el cálculo. Ese dato variará entre 0 y 29.

Con todo esto, queda más o menos claro que el Domingo de Resurrección cae, obligatoriamente, entre el 22 de marzo y el 25 de abril. Para calcular la fecha exacta de cada año existen varios métodos (de hecho hasta ha habido tablas de cálculo de dicha fecha). Posiblemente, el más sencillo es el conocido como algoritmo de Gauss, que se basa en la aritmética modular y que es el que vamos a intentar explicar en los próximos párrafos.

Llamemos A al año del cual queremos calcular la fecha del Domingo de Resurrección. Para calcular la fecha que buscamos con este método, debemos definir diez variables: a, b, c, k, p, q, M, N, d y e. En el siguiente cuadro podéis ver la definición de cada una de ellas:

A partir de esto, la fecha del Domingo de Resurrección es la siguiente:

Por razones históricas, hay dos excepciones que es necesario comentar. Si obtenemos el 26 de abril nos salimos del rango, por lo que el Domingo de Resurrección será el 19 de abril (una semana antes). Y si obtenemos el 25 de abril con d = 28, e = 6 y a > 10, el Domingo de Resurrección será el 18 de abril (la semana anterior).

Veamos un ejemplo: vamos a calcular la fecha del Domingo de Resurrección de este año 2017. Tomando entonces A = 2017, tenemos que:

- a = 3 (el resto de dividir 2017 entre 19).

- b = 1 (resto de dividir 2017 entre 4).

- c = 1 (resto de dividir 2017 entre 7).

- k = 20 (redondeo por defecto del resultado de dividir 2017 entre 100).

- p = 6 (redondeo por defecto del resultado de dividir 13 + 8k entre 25).

- q = 5 (redondeo por defecto del resultado de dividir k entre 4).

- M = 24 (resto de dividir 15 – p + k – q entre 30).

- N = 5 (resto de dividir 4 + k – q entre 7).

- d = 21 (resto de dividir 19a + M entre 30).

- e = 4 (resto de dividir 2b + 4c + 6d + N entre 7).

Como d + e = 25 > 9, tenemos que, en 2017, el Domingo de Resurrección será el 25 – 9 = 16 de abril, como en realidad ocurre.

Aunque, como decíamos antes, éste es el método más sencillo, puede verse que tiene cierta complejidad. Vamos a intentar explicar, a grandes rasgos, el funcionamiento del mismo.

El método puede dividirse en dos partes: el cálculo de d (número de días desde el 22 de marzo hasta la primera luna llena) y el cálculo de e (el número de días desde esa primera luna llena hasta el primer domingo).

El ciclo lunar se repite cada 19 años (con un pequeño error de 2 horas). El cálculo de a controla eso: la posición entre esos 19 en la que se encuentra nuestro año A. Como un año lunar tiene, aproximadamente, 354 días, nos faltarían 11 para llegar a los 365 de un año del calendario. Y como, al hablar de restos módulo 30, es lo mismo restar 11 que sumar 19, esto explica el 19a de la fórmula de cálculo de d. El cálculo de M tiene que ver con el cambio del calendario juliano al gregoriano, con los años bisiestos múltiplo de 100 y con el ajuste de ese pequeño error de 2 horas en el ciclo lunar. El módulo 30 que aparece tanto en M como en d tiene que ver con el ciclo lunar de 30 días entre el 22 de marzo y el 20 de abril.

Cuando ya tenemos calculada esa primera luna llena, tenemos que avanzar hasta el primer domingo posterior a ella. De ese cálculo se ocupa e, que tendrá un valor de 0 a 6 (porque la semana tiene 7 días), por eso su cálculo es módulo 7. Su definición controla el desplazamiento del día de la semana de un año a otro (tanto si es bisiesto como si no lo es) y que el comienzo de los cálculos para cada siglo sea el correcto.

Para más información sobre todas estas constantes, podéis visitar Easter Date Algorithms y Gauss’ Algorithm for Easter Date.

Como podéis ver, la aritmética modular es una herramienta matemática muy útil en distintas situaciones. Mi intención, además de desvelarla manera en la que se calcula esta fecha del Domingo de Resurrección, era mostrar esa gran utilidad. Espero haberlo conseguido.