El enigma del 196

Las curiosidades numéricas han fascinado a muchísimos matemáticos (y no matemáticos) desde la antigüedad. Algunas involucran solamente a los números primos, otras hablan exclusivamente de números compuestos; algunas tienen como protagonistas a las potencias de algunos números y otras se refieren a alguna colocación concreta de sus dígitos (sirva el problema de la constante de Kaprekar, 6174, como ejemplo).

De entre todas ellas, desde siempre me han gustado las que están relacionadas con los números capicúas, esos números (también denominados palíndromos) que son iguales tanto si los leemos de izquierda a derecha como si lo hacemos de derecha a izquierda: 55, 141, 34543…

Y os aseguro que no soy el único que se siente admirado por todas las curiosidades que rodean a este tipo de números, hasta matemáticos profesionales se han dedicado a estudiarlos. Es posible que el estudio de alto nivel más interesante que podéis encontrar sea un resultado demostrado por Javier Cilleruelo, colaborador habitual de El País cuyo fallecimiento el pasado año 2016 entristeció enormemente a toda la comunidad matemática. “Cille” demostró que todo numero entero positivo puede escribirse como suma de tres números capicúas, bajando drásticamente la cantidad necesaria de capicúas, que anteriormente estaba en 49, y dando una demostración constructiva (esto es, explicando constructivamente cómo encontrar esos tres números capicúas para un entero positivo cualquiera). Sencillamente maravilloso.

En el artículo de hoy no vamos a aspirar a llegar a cotas tan altas como las que alcanzó Javier, pero sí vamos a hablar de una curiosa conjetura relacionada con números capicúas y que, a día de hoy, sigue sin demostrarse ni refutarse. Me refiero a la existencia de los números de Lychrel.

Veamos de qué trata el asunto. Tomamos un número entero positivo cualquiera, por ejemplo el 47, invertimos el orden de sus dígitos y sumamos:

47+74=121

En un solo paso nos ha salido un número capicúa. Probemos con otro, digamos el 75:

75+57=132

En este caso no obtenemos un capicúa en el primer paso. Sigamos con el proceso con el número obtenido, el 132:

132+231=363

Partiendo del 75, hemos obtenido un número capicúa en dos pasos. Uno más, el 165:

165+561=726

726+627=1353

1353+3531=4884

Aquí hemos necesitado tres pasos. Y un último ejemplo, el 89:

89+98=187

187+781=968

968+869=1837

1837+7381=9218

9218+8129=17347…

Después de cinco pasos todavía no hemos encontrado el número capicúa, pero podéis estar tranquilos: realizando la inusual cantidad de 24 pasos aparece el capicúa

8813200023188

con lo que cerramos el círculo del 89. Y digo que la cantidad de pasos es “inusual” porque es el que más pasos necesita para llegar al capicúa entre todos los enteros positivos menores de 10000…

…si es que podemos palindromizar todos esos números. Porque, queridos lectores, aquí llega la conjetura que anunciaba unos párrafos más arriba: existen números para los cuales no se sabe si terminan en capicúa al aplicar este proceso. Y, como adelantaba el título de este artículo, no hay que avanzar demasiado en la lista de enteros positivos para encontrar el primero: el 196.

El 196 es el número más pequeño sospechoso de ser un número de Lychrel

Los enteros positivos (en base 10) que no se pueden palindromizar se denominan números de Lychrel. El nombre se lo puso Wade VanLandingham, uno de los principales estudiosos de estos números, y es un anagrama “aproximado” de Cheryl¸ el nombre de su novia. La cuestión, como comentábamos antes, es que no se sabe si existe algún número de Lychrel. Lo único que tenemos son candidatos, y, como decíamos, el 196 es el más pequeño de todos ellos:

196+691=887

887+788=1675

1675+5761=7436

7436+6347=13783

13783+38731=52514

52514+41525=94039

94039+93049=187088

187088+880781=1067869

1067869+9687601=10755470

10755470+07455701=18211171

Tras diez pasos del proceso, ni rastro del deseado capicúa. Y podéis seguir…aunque no os lo recomiendo, al menos sin la ayuda de un ordenador y un buen programa. Para quien quiera probar, aquí tenéis una web en la que metéis un número y obtenéis el capicúa que queda al finalizar el proceso…si este capicúa sale en menos de 500 pasos, que es el límite de dicha web. Para el 196, el resultado obtenido después de estos 500 pasos es esta cosica que os dejo aquí:

que, como podéis observar, dista mucho de ser capicúa.

Decía que no os aconsejo seguir el proceso de invertir y sumar sin la ayuda de un ordenador y un programa eficiente, pero en realidad ni así es recomendable. Y la razón es que, hasta donde yo sé (año 2015), para el 196 se ha llegado a un número de mil millones de dígitos sin encontrar el tan buscado capicúa. Teniendo en cuenta que, en una investigación anterior a ésta, se llegó a un número con 413930770 dígitos (menos de la mitad del “récord”) después de mil millones de pasos, no me quiero imaginar cuántos pasos fueron necesarios para alcanzar ese billón estadounidense de dígitos.

Es interesante comentar que el 196 no es ni mucho menos el único del que se sospecha que pueda ser un número de Lychrel, aunque es el que más interés suscita por ser el más pequeño de estos sospechosos. Otros de los que no se sabe si llegan a un capicúa son el 295, el 394, el 493 o el 592. En la OEIS hay, como no podía ser de otra forma, una secuencia, la A023108, dedicada a estos posibles números de Lychrel.

Y también merece la pena mencionar que hay bases de numeración para las que sí se conoce la existencia de números de Lychrel. Concretamente, para base 2 se sabe que el número 10110 (22 en base 10) es un número de Lychrel; y para base 4 se ha demostrado que el número 3333 (255 en base 10) también pertenece a este curioso tipo de números.

Para terminar, creo que es conveniente apuntar que las únicas investigaciones sobre los números de Lychrel de las que tengo constancia se centran en la fuerza bruta, es decir, en buscar el capicúa utilizando un programa de ordenador que vaya realizando las operaciones de invertir y sumar y compruebe en cada paso si se ha llegado al palíndromo. Cierto es que estos programas pueden refinarse para ser más eficientes y así poder realizar más operaciones en menos tiempo, pero no servirían de nada en el caso de que ese capicúa no exista. No conozco trabajos teóricos sobre estos números, de hecho ni siquiera sé si los hay. Si alguien que pase por este artículo tiene información sobre ello, estaré muy agradecido si la comparte con nosotros en los comentarios.