Pelos, saludos y palomas

¿Hay en España dos personas que tengan exactamente el mismo número de pelos en la cabeza? Esta extraña pregunta, y otras más o menos curiosas, pueden responderse utilizando un resultado matemático que destaca por su extremada sencillez: el principio del palomar.

El principio del palomar dice básicamente que si tenemos que colocar unas cuantas palomas en palomares y tenemos más palomas que palomares, entonces en (al menos) un palomar habrá más de una paloma.

Evidente a la par que sencillo, ¿verdad? Pues, a pesar de ello, este resultado, atribuido a Dirichlet, es muy útil para resolver cierto tipo de cuestiones numéricas, como la que comentábamos al principio. Pero antes de ir a ella vamos a plantear otras cuestiones que también se puede resolver con este principio.

Comenzamos con la siguiente, eminentemente numérica:

Demuestra que si escogemos tres números naturales cualesquiera (naturales: 1, 2, 3, 4, 5,…), siempre se cumple que habrá dos de ellos cuya resta es múltiplo de 2.

Esto es fácil de demostrar sin usar el principio del palomar con un simple análisis de todas las opciones posibles:

- Si hemos escogido tres impares, cualquier pareja tiene como resta un número par, y por tanto múltiplo de 2.

- Si hemos escogido dos impares y un par, la resta de los dos impares da un número par, múltiplo de 2.

- Si hemos escogido un impar y dos pares, la resta de los pares da un número par, también múltiplo de 2.

- Y si hemos escogido tres pares, la resta de cualesquiera dos de ellos da un número par, que vuelve a ser entonces múltiplo de 2.

Ahora, imaginad que escogemos 1000 números naturales y nos piden que demostremos que al menos dos de ellos cumplen que su resta es múltiplo de 999. Ahora sería una locura analizar todas las opciones, por lo que necesitamos otra estrategia. Vamos a usar el principio del palomar.

Al dividir un número natural entre 999, podemos obtener como resto de la división cualquier número entre 0 y 998, que son 999 restos distintos. Si dividimos nuestros 1000 números entre 999, obtendremos 1000 restos (uno por cada número). Tomando esos 1000 números como las palomas y los 999 restos distintos como los palomares, tenemos que al menos dos números dejarán el mismo resto al dividir entre 999.

Si llamamos M y N a esos dos números, tenemos entonces que M=999·P+R y que N=999·Q+R (distintos cocientes pero mismo resto). Si restamos llegamos a lo siguiente:

M-N=(999·P+R)-(999·Q+R)=999·P+R-999·Q-R=999·P-999·Q=999·(P-Q)

Es decir, su resta es múltiplo de 999. Usando el principio del palomar, hemos demostrado que entre nuestros 1000 números naturales siempre habrá al menos dos cuya resta será múltiplo de 999.

Vamos ahora con otro problema, geométrico en este caso:

Tomamos un triángulo equilátero de lado 2. Demostrar que si tomamos 5 puntos dentro de él, siempre ocurrirá que al menos dos estarán a una distancia menor que 1.

Está claro que cada pareja de puntos estará a una distancia menor que 2, pero lo que no está claro en un principio es si podremos encontrar dos a distancia menor que 1. ¿Y si los colocamos muy cerca de los bordes lo más separados que podamos?

Bien, la cosa es sencilla. Tomamos los puntos medios de los lados de nuestro triángulo y los unimos como muestra la imagen, quedado así dividido nuestro triángulo equilátero en cuatro triángulos equiláteros iguales de lado 1:

Considerando a los 5 puntos a colocar como las palomas y los 4 triángulos de lado 1 como los palomares, está claro que al menos dos de ellos caerán dentro del mismo triangulito de lado 1, y por tanto estarán a distancia menor que 1 (si alguno de ellos cae justo en alguna de las líneas creadas para formar el triángulo central, se puede ver fácilmente que el resultado también se cumple).

Seguro que después de ver el enunciado del principio del palomar y los ejemplos anteriores, a muchos ya se os habrá ocurrido cómo usarlo para responder a la pregunta que lanzábamos al comienzo de este artículo, pero por si acaso no es así lo vamos a explicar.

Si consultamos el artículo de la Wikipedia dedicado al pelo, podemos encontrar una aproximación a la cantidad de pelos que un adulto tiene en la cabeza:

El pelo se distribuye en casi toda la superficie corporal, exceptuando las superficies palmoplantares, el ombligo y las mucosas. En un adulto el número aproximado de pelos es de unos cinco millones, repartiéndose en forma desigual a lo largo del cuerpo. En la cabeza hay alrededor de un millón, encontrándose entre 100000 y 150000 en el cuero cabelludo.

Se entiende que ese millón cuenta los del cuero cabelludo, la barba, la nariz, etc. Con este dato, y teniendo en cuenta que, según el INE, a 1 de julio de 2016 España tenía 46468102 habitantes, ya podemos responder a nuestra pregunta. Si tomamos esos más de 46 millones de habitantes como las palomas y todas las posibles cantidades de pelos, 1 millón, como palomares, tenemos que seguro que habrá al menos dos personas con la misma cantidad de pelos en su cabeza (al haber más palomas que palomares). De hecho, estamos seguros de que podemos encontrar al menos 47 personas con la misma cantidad de pelos repartidos por su cabeza. Sencillo a la par que curioso.

Y ya que estamos con preguntas peculiares, vamos con otra. Imaginad que el próximo fin de semana asistís a una gran fiesta, y supongamos que os juntáis 5000 personas. Algunos de los asistentes os conoceréis entre vosotros y otros no, como es natural, y algunos conocerán a más gente que otros. Bien, pues es seguro que habrá al menos dos asistentes a la fiesta que conocerán al mismo número de personas.

¿También se puede demostrar esto con el principio del palomar? Pues sí, también se puede demostrar esto con el principio del palomar, y vamos a verlo ahora mismo. Las palomas van a ser las personas que asisten a la fiesta, 5000, y los palomares serán las posibles cantidades de personas que puede conocer alguien. En principio, hay también 5000 posibilidades en lo que se refiere a conocer gente, ya que ese “alguien” podría conocer a 0 personas, a 1 persona, a 2 personas, y así hasta 4999 personas (que se conozca a uno mismo se obvia)…

…pero hay un pequeño detalle que nos permite usar nuestro principio. Si alguien no conoce a nadie en la fiesta, entonces no puede darse el caso de que otro asistente conozca a los otros 4999 “fiesteros”, porque entonces también conocería a nuestro “alguien”. Por tanto, 0 y 4999 no pueden darse a la vez. Descartando uno de ellos (da igual el que sea), tenemos 4999 cantidades de personas que se pueden conocer, 4999 palomares. Como hay más palomas (personas) que palomares (personas que alguien puede conocer), al menos habrá dos asistentes a la fiesta que conocerán al mismo número de personas.

Como hemos visto con estos ejemplos, no hay que subestimar la potencia de un resultado matemático por muy simple y evidente que pueda parecer en un primer contacto, como ocurre con el principio del palomar. Y los ejemplos que hemos comentado no son ni mucho menos los únicos para los que este resultado tiene utilidad. Estoy seguro que algunos de vosotros conocéis más casos curiosos e interesantes, y espero que nos habléis de ellos en los comentarios.