La Regla del Fin de los Días

Estamos en fechas prenavideñas (aunque para algunos centros comerciales ya era Navidad hace un mes), época en la que son habituales las reuniones familiares. Lo que os traigo hoy en este artículo es un método relativamente sencillo para calcular el día de la semana en el que cae una fecha cualquiera. Con este método podréis amenizar estas reuniones y, por qué no, dejar sin palabras a vuestro cuñao (pasando entonces vosotros a ser el cuñao). Este método es el conocido como Doomsday Rule, que en español suele traducirse como Regla del Fin de los Días o Regla del Fin del Mundo.

Este no es ni mucho menos el único método que se conoce para calcular el día de la semana, pero de los que conozco es el que considero más sencillo de explicar y más fácil de aprender. Y para que podáis aprenderlo, y entender bien todos los pasos, vamos a explicarlo poco a poco.

Comencemos recordando algo evidente que todos sabemos: si cierto día es, por ejemplo, martes, 7 días después volverá a ser martes (y lo mismo ocurre, claro está, para cualquier otro día de la semana), 14 días después será martes, al igual que 21 días después, y 28, y en general cualquier múltiplo de 7 días después. Por tanto, si sabemos en qué día cae una fecha concreta, podemos calcular fácilmente en qué días caen fechas más o menos cercanas a ella: lo único que tenemos que hacer es calcular cuántos días han pasado, quitarle el mayor múltiplo de 7 posible y contar después solamente los que nos han sobrado.

Pongamos un ejemplo para que se entienda mejor. Este año 2016, el 1 de noviembre fue martes. Sabiendo eso, es fácil calcular, por ejemplo, qué día fue el 19 de noviembre de este año: calculamos los días que han pasado, 18, y le quitamos el múltiplo de 7 mayor posible, 14. Nos quedan 4, y esos son los días que tenemos que contar a partir de nuestra fecha, que fue martes. Por tanto, el 19 de noviembre fue sábado (4 días después).

Esto mismo es un método de cálculo del día de la semana, pero tiene el gran problema de que cuando el número de días pasados desde la fecha que nosotros conocemos es muy grande, los cálculos pueden ser algo complicados de realizar. De hecho, contar cuántos días han pasado desde la fecha que nosotros sabemos también puede ser un problema. Imaginaos que, sabiendo que el 1 de noviembre de 2016 es martes, os pido que calculéis en qué día caerá el 5 de abril de 2039. ¿Cuántos días han pasado? Para contarlos hay que saber que una fecha concreta se desplaza un día por cada año que pasa…si no es bisiesto, porque si lo es entonces se desplaza un día antes del 29 de febrero y dos días si la fecha es posterior…Vamos, que intentar hacer los cálculos con este método acaba siendo un follón.

Por cierto, ¿cada cuántos años aparece un año bisiesto? Pues cada cuatro años, ¿verdad? ¡¡Eeeeeeerroooor!! Como sabréis la gran mayoría, los años bisiestos existen para corregir el desfase que se produce en cada año normal, que dura 365 días y un poquito La cuestión es que en 4 años no llegamos a juntar un día entero con ese desfase, por lo que con cada bisiesto estamos, por decirlo de alguna forma, añadiendo horas que no han pasado. Para corregir ese exceso, lo que se hace es no hacer bisiestos algunos años a los que les tocaría serlo. Concretamente, los años de final de siglo, lo que acaban en 00, sólo son bisiestos si son también múltiplos de 400. Es decir, el año 2000 fue bisiesto (2000=400 · 5), pero el 2100 no lo será, por no ser múltiplo de 400. Tampoco lo será el 2200 ni el 2300 (como no lo fue el 1900), pero sí lo será el 2400 (porque 2400=400 · 6).

Con los ingredientes que hemos dado, ya tenemos suficiente para comenzar a introducirnos en el método, que, como hemos comentado, se llama Doomsday Rule. Este método fue creado por John Horton Conway, quien lo publicó en 1973 en el volumen 36 de la revista Eureka con el título Today is the Day After Doomsday y, posteriormente, en el libro Winning Ways for Your Mathematical Plays, que escribió junto a Elwyn R. Berlekamp y Richard K. Guy. En una primera lectura, el método puede pareceros algo lioso y complicado de aprender, pero os aseguro que, poniendo un poco de interés, es muy sencillo de asimilar.

Conway observó que, en un mismo año, hay varias fechas sencillas de recordar que caen siempre en el mismo día de la semana. Esas fechas son el último día de febrero (28 si no es bisiesto y 29 si es bisiesto), el 4 de abril, el 6 de junio, el 8 de agosto, el 10 de octubre, el 12 de diciembre, el 9 de mayo, el 5 de septiembre, el 11 de julio y el 7 de noviembre. ¿Sencillas de recordar? Sí. Mirad: último día de febrero, 4-4, 6-6, 8-8, 10-10, 12-12, 9-5, 5-9, 11-7 y 7-11. Al día de la semana en el que cae el último día de febrero lo llamó doomsday del año, por lo que todos esos días caen también en el doomsday de ese año.

La clave entonces es calcular cuál es el doomsday del año en el que está la fecha que queramos calcular, y a partir de ahí contar hasta dicha fecha. Por ejemplo, si un año el doomsday es miércoles y queremos saber en qué cae el 16 de abril, como el 4 de abril (4-4) es miércoles tendremos que el 16 de abril, 12 días después, es lunes (12-7=5 y contamos 5 días después del miércoles).

¿Cómo podemos calcular el doomsday de un año en concreto? Para ello hay que empezar teniendo en cuenta dos cosas:

1.- Nos basamos en el calendario gregoriano, que comenzó en 1582. Por ello, para no liarnos más de la cuenta, vamos a calcular fechas del año 1600 en adelante.

2.- El calendario gregoriano se repite cada 400 años. Es decir, si en 1743 el 1 de octubre fue martes, entonces el 1 de octubre de 2143 será también martes, al igual que el 1 de octubre de 2543, y así sucesivamente.

Sabiendo esto, el primer paso va a ser calcular el doomsday del siglo al que pertenece nuestro año. Vamos a ir explicando cada paso y a la vez vamos a llevar un ejemplo: el 30 de abril de 1777, el día del nacimiento de Carl Friedrich Gauss.

En vez de tomar los años acabados en 00 como los últimos del siglo, los tomaremos como los primeros de siglo. Así, para 16XX consideraremos el doomsday del año 1600, para 18XX el del 1800, etc. Como el calendario se repite cada 400 años, solamente tendremos que saber 4 doomsdays de siglo. La regla es como sigue: el doomsday de un 00 bisiesto es el martes; el del siguiente a un 00 bisiesto es domingo (cinco después), el del siguiente es viernes (cinco después); y el del siguiente es miércoles (cinco después); y después se repite. Tenemos entonces que en 1600 el doomsday fue martes, en 1700 domingo, en 1800 viernes, en 1900 miércoles, en 2000 martes, en 2100 será domingo, y el ciclo se sigue repitiendo. Por tanto, para nuestro ejemplo tenemos que el doomsday de siglo es domingo

Y ahora vamos a calcular el doomsday (recordad: el último día de febrero, el 4-4, el 6-6, etc) del año del que queremos calcular la fecha. Para ello podríamos contar el número de años y sumar un día por cada año pasado, pero habría que tener en cuenta los bisiestos para sumar otro día (o no, dependiendo de la fecha). Por ello usamos una simplificación: si comenzamos en un bisiesto o uno que debería serlo, como los 00, cada 12 años una fecha se desplaza solamente un día. Esto es porque, comenzando en un 00, una fecha se desplaza 5 días cada 4 años (un día por cada año más otro día por el bisiesto que contendrá ese grupo de años). Por tanto, cada 12 años se desplazará 15 días, que en realidad es como desplazarse 1 día (recordad lo de que las semanas tienen 7 días).

Entonces comenzaremos contando cuántas docenas de años han pasado desde nuestro 00 de referencia. En nuestro caso, como han pasado 77 años desde 1700, tenemos 6 docenas (12 · 6=72, y la siguiente docena no se completa entera).

Ahora tomamos el número de años que sobran desde esas docenas que calculamos antes (porque por cada año de más hay que contar otro día de desplazamiento). En nuestro ejemplo serían 77-72=5 años.

Y ahora contamos cuántos grupos de 4 años hay en ese sobrante calculado antes (para sumar el día de más de los bisiestos). En nuestro caso completamos 1 grupo de 4 años.

El desplazamiento del doomsday desde el 00 de referencia hasta el año en el que estemos calculando será la suma de las docenas, de los años sobrantes y de los grupos completos de 4 años. Por tanto, el desplazamiento del doomsday de 1777 (contado desde el último día de febrero de ese año) respecto del de 1700 es de 6+5+1=12 días, que es lo mismo que desplazarse 5 días (le quitamos el mayor múltiplo de 7 que podamos). Como el doomsday de 1700 fue domingo, el doomsday de 1777 fue viernes.

Y ahora buscamos entre las fechas que sabemos que caen el mismo día que el doomsday y nos quedamos con la más cercana a nuestro día, y hacemos el cálculo mentalmente. En nuestro ejemplo, podemos tomar el 4 de abril, que por lo que hemos calculado fue viernes. Hasta el 30 de abril hay 26 días, que da un desplazamiento de 26-21=5 días. Contando desde el viernes, tenemos que el 30 de abril de 1777 fue miércoles.

Vamos a ver otro ejemplo: el 23 de febrero de 1855 (el día del fallecimiento de Gauss). Si queréis, intentadlo vosotros antes de seguir leyendo:

- Doomsday del siglo: Viernes.

- Docenas: 4 (12 · 4=48).

- Años sobrantes: 7 (55-48).

- Grupos de 4 años: 1.

- Desplazamiento total desde el doomsday del siglo: 4+7+1=12, que son 5 días.

- Doomsday de 1855: Viernes+5=miércoles.

- Como 1855 no fue bisiesto (al ser impar seguro que no lo fue), febrero tuvo 28 días. Por tanto, el 28 de febrero fue miércoles, por lo que el 23 de febrero de 1855 fue viernes.

Y un último ejemplo más: el 18 de julio de 2116 (el día en el que este blog, El Aleph, cumplirá 100 años). Vamos a ello:

- Doomsday del siglo: Domingo.

- Docenas: 1 (12 · 1=12).

- Años sobrantes: 4 (16-12).

- Grupos de 4 años: 1.

- Desplazamiento total desde el doomsday del siglo: 1+4+1=6 días.

- Doomsday de 2116: Domingo+6=sábado.

- Tomamos el 11 de julio de entre las fechas conocidas y, como el desplazamiento al 18 son 7 días, tenemos que el 18 de julio de 2116 será sábado. Aunque no nos tocará publicar (lo hacemos los miércoles), será un buen día para un artículo especial.

Para practicar, podéis probar vosotros mismos con cualquier otra fecha. Os dejo una web que calcula el día de la semana de una fecha concreta para que comprobéis si lo habéis hecho bien. Si tenéis algún problema con el método, no tenéis más que dejar un comentario y os ayudaremos lo antes posible. Y si conocéis otros métodos para calcular el día de la semana, también podéis contárnoslos en los comentarios.

Matemáticamente hablando, el cálculo del doomsday del año se hace de la siguiente forma:

expresión en la que y es el año de la fecha que queremos calcular y […] simboliza la parte entera (al tratar sólo con números positivos, la parte entera es lo que queda al quitar los decimales). Por otro lado, a mod b es el resto de la división de a entre b (o, lo que es lo mismo, el número que queda al restarle a a el mayor múltiplo de b posible).