Matemáticas para mirar dentro del cuerpo humano

En el Congreso Internacional de Matemáticos de 1998, Gunther Uhlmann (Universidad de Washington, EE UU) llamó la atención sobre un viejo problema del argentino Alberto Calderón en el que se preguntaba si existe un método para crear imágenes del interior de un objeto a partir de medidas eléctricas en la superficie. Uhlmann lo señaló como el problema más importante del área de problemas inversos, más allá de su interés aplicado, de donde nació. Calderón dio con la cuestión como método para buscar petróleo utilizando medidas en la superficie de la tierra cuando trabajaba en la petrolera YPF.

La técnica EIT emplea una serie de electrodos en la piel del paciente. Se emiten corrientes eléctricas y, una vez atraviesan el cuerpo, se mide los voltajes generados, otra vez en la piel

Esta misma técnica se puede utilizar en exámenes médicos de tomografía de impedancia eléctrica (EIT en sus siglas en inglés), una prueba diagnóstica barata y no invasiva. No solo no hace falta introducir objetos en el cuerpo (como se hace en la endoscopia, por ejemplo), sino que tampoco se ha de someter a radiaciones agresivas (como se hace en el TAC, con rayos X).

La técnica EIT emplea una serie de electrodos en la piel del paciente. Se emiten corrientes eléctricas y, una vez atraviesan el cuerpo, se mide los voltajes generados, otra vez en la piel. Se repite el experimento con diferentes configuraciones de corriente y, a partir de estos datos, se reconstruye la conductividad del interior del cuerpo. Cada material resiste la electricidad de distinta forma (un hueso, el aire del interior del pulmón, la sangre, un tumor…), de manera que las distintas conductividades en cada punto permiten obtener una imagen del cuerpo.

El problema de Calderón es lo que se llama un problema inverso. En vez de partir de una ecuación y calcular sus soluciones, se tienen las soluciones, y se quiere determinar la conductividad y por tanto la ecuación. De cierta manera es buscar la pregunta, dada la respuesta. Si alguien responde “Mañana hará soleado”, podemos deducir que la pregunta habrá sido “¿Qué tiempo hará mañana?”. Siguiendo con la analogía anterior, si la respuesta es menos determinante, por ejemplo “25”, hay muchas preguntas que podrían ser contestadas con ella:“¿Cuántos años tienes?”, “¿qué día era tu cumpleaños?, “¿cuánto te costó esa falda?”… Por tanto, no siempre hay una única cuestión de fondo; para algunos problemas podría haber varias configuraciones que dieran lugar al mismo resultado, y por tanto no habría manera de resolver el problema inverso.

El trabajo de estos dos científicos es estrictamente teórico, pero podría ayudar a mejorar los algoritmos con los que funcionan los aparatos

Sin embargo, Pedro Caro (Ikerbasque-BCAM) y Keith Rogers (CSIC-ICMAT) han probado que el Problema de Calderón sí puede resolverse. Han confirmado la conjetura de Uhlmann, demostrando que existe una única ecuación para cada conjunto de mediciones en la superficie, siempre y cuando la conductividad en el interior y la superficie cumpla ciertos requisitos de regularidad. Gracias a este reciente trabajo, publicado en la revista Forum of Mathematics, Pi, se sabe que si la conductividad en nuestro cuerpo no crece descontroladamente en ninguna región, se puede esperar que las imágenes que generan las máquinas de EIT sean fiables, más o menos. “En un mundo perfecto, con una máquina ideal, la imagen sería perfecta. Pero en el problema de Calderón no se consideran posibles errores, redondeo, etc.”, puntualiza Rogers.

El trabajo de estos dos científicos es estrictamente teórico, pero podría ayudar a mejorar los algoritmos con los que funcionan los aparatos. “Pero para implementarlo en una máquina no interesa tanto la fórmula perfecta, sino la mas estable o la que pueda funcionar bien con datos imperfectos. Además entran otras variables de ingeniería informática”, asegura Rogers.

Sin embargo, más allá de cerrar una pregunta abierta desde hace décadas, dentro de la propia matemática las implicaciones de este trabajo son importantes. Muchos problemas inversos comparten la misma estructura fundamental. Por ejemplo en los llamados problemas de tipo scattering, en los que se pretende reconstruir un objeto a partir de la manera en que perturba las ondas de sonido o luz. Es la idea que fundamenta los radares, o el funcionamiento del ojo humano.

Ágata Timón es miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.