Hasta el infinito y más allá

Evidentemente, podemos dividir los números en grandes y pequeños, como nos planteábamos la semana pasada, si establecemos arbitrariamente una línea divisoria; por ejemplo, podemos llamar grandes a los números de más de seis cifras, con lo que el primero de ellos sería un millón (la contundente terminación aumentativa hace que esta decisión parezca razonable). Pero si 1.000.000 es un número grande, ¿tiene sentido decir que 999.999 es un número pequeño? La vieja y perturbadora “paradoja del montón” enseña las orejas una vez más…

Menos complicado que resolver la paradoja sorites es adivinar un número entero sub specie aeternitatis, pues basta con ir diciendo alternativamente los positivos y los negativos: 1, -1, 2, -2, 3, -3…

Para ir diciendo todas las parejas de números naturales, podemos listarlas, en orden creciente, por la suma de sus miembros: 1-1 (suma 2), 1-2 (suma 3), 1-3, 2-2 (suma 4), 1-4, 2-3 (suma 5), 1-5, 2-4, 3-3 (suma 6)…

Si tenemos en cuenta el orden de los miembros en cada pareja, la cosa se alarga un poco más, pero la estrategia es la misma: 1-1, 1-2, 2-1, 1-3, 3-1, 2-2, 1-4, 4-1, 2-3, 3-2, 1-5, 5-1, 2-4, 4-2, 3-3…

Para los números fraccionarios, nos sirve la lista anterior sustituyendo los guiones por barras: 1/1, 1/2, 2/1, 1/3… De este modo, todas las fracciones aparecen muchas veces (infinitas, de hecho), pero tenemos la certeza de no dejarnos ninguna.

Y llegamos a los irracionales. Un matemático apresurado seguramente diría que, puesto que el conjunto de los irracionales es un infinito no numerable (un número transfinito, según la terminología de Cantor), es imposible recitar una lista exhaustiva y, por tanto, ni en toda la eternidad tendríamos la certeza de dar con un irracional concreto pensado por alguien. Pero el matemático apresurado se equivocaría.

Ante todo, demostremos que el matemático tiene razón al afirmar que los irracionales no son numerables. Imaginemos que tenemos la lista completa de los irracionales comprendidos entre 0 y 1 (o sea, de la forma 0,...) y construyamos uno de la misma forma con el primer decimal distinto del primer decimal del primer número de la lista, el segundo decimal distinto del segundo decimal del segundo número de la lista, y así sucesiva e indefinidamente. Ese número será distinto del primero de la lista en al menos el primer decimal, será distinto del segundo en al menos el segundo decimal… Es decir, no estará en la lista. Pero habíamos dicho que era una lista completa, y la operación descrita podríamos llevarla a cabo con cualquier lista. Luego es imposible hacer una lista completa de los números irracionales, o, dicho de otro modo, no son numerables.

Pero entonces no podemos recitar ordenadamente una lista exhaustiva de los irracionales, el matemático tiene razón… Pues no, no tiene razón, ya que no se trata de adivinar un número cualquiera, sino uno pensado por alguien. Por lo tanto, disponemos de una estrategia lenta pero segura: recitamos las letras dl alfabeto, luego las parejas de letras, luego los tríos… O sea, vamos diciendo todo lo decible, y puesto que un número pensado por alguien tiene que poder describirse con un número finito de palabras, acabaremos nombrándolo. Los números irracionales no son numerables, pero los pensables sí.

El hotel de Hilbert

Para ilustrar algunas paradojas del infinito, el gran matemático alemán David Hilbert imaginó un hotel de infinitas habitaciones, en el que te invito a alojarte por un día (o por toda la eternidad).

Pero, ay, cuando llegas al hotel de Hilbert resulta que sus infinitas habitaciones están todas ocupadas. Sin embargo, la recepcionista te guiña un ojo y te dice que, con la amable colaboración de los huéspedes, puede conseguir que quede libre una habitación para ti. ¿Cómo?

El amable trato recibido en el hotel de Hilbert te anima a presentarte allí, unos días después, en compañía de infinitos amigos. El hotel está completo, pero, una vez más, y con la amable colaboración de los huéspedes, la recepcionista consigue alojaros a ti y a tu comitiva infinita. ¿Cómo?

En realidad no hay un hotel de Hilbert, sino infinitos, y todos ellos con infinitas habitaciones. Un día, para ahorrar gastos, deciden cerrarlos todos menos uno; pero todas las habitaciones de todos los hoteles están ocupadas, por lo que hay que trasladar a todos esos huéspedes al único hotel que queda abierto, y de forma que cada huésped tenga su propia habitación. ¿Es ello posible?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’