Extraños utensilios

Nos preguntábamos la semana pasada por el porcentaje de portadores del gen del albinismo, sabiendo que una de cada 10.000 personas es albina. Como el gen del albinismo es recesivo, para que nazca un albino tienen que juntarse un portador y una portadora, por lo que si llamamos 1/x a la fracción de personas portadoras, la fracción de parejas susceptibles de tener un hijo albino será 1/x²; pero solo uno de cada cuatro hijos de una de esas parejas será albino, pues para ello tienen que coincidir en el cigoto los dos genes del albinismo, puesto que son recesivos. Por lo tanto, la proporción de albinos será 1/4x². Y como 4x² = 10.000, x = 50. Una de cada 50 personas es portadora del gen del albinismo, o lo que es lo mismo, el 2 % de la población.

En cuanto al tipógrafo que afirma haber utilizado exactamente 3.000 caracteres, no dice la verdad. Las 9 primeras páginas necesitan 9 caracteres; las 90 siguientes (de la 10 a la 99), 2 cada una, o sea, 180; las 900 siguientes (de la 100 a la 999), tres cada una, o sea, 2.700. En total, las 999 primeras páginas necesitan para su numeración 2.889 caracteres. A partir de ahí, cada página necesitará 4 caracteres; pero 3.000 – 2.889 = 111, que no es divisible por 4; por lo tanto, no es posible que el tipógrafo haya utilizado exactamente 3.000 caracteres.

La ecuación exponencial x^x = y^y no implica necesariamente x = y; puede ser x = 1/2 e y = 1/4.

En el problema de las estaciones, si llamamos x al número de estaciones antiguas e y al número de estaciones nuevas, habrá que hacer 2xy billetes nuevos para enlazar a todas las nuevas con todas las antiguas (recordemos que el billete de ida y el de vuelta son distintos), a los que habrá que añadir los billetes correspondientes a los enlaces de las estaciones nuevas entre sí: y(y – 1). Por lo tanto, 2xy + y(y – 1) = 34, de donde y(2x + y – 1) = 34. Puesto que y es un número entero, también ha de serlo 2x + y – 1, por lo que solo hay dos soluciones: y = 1, x = 17; y = 2, x = 8; pero como nos dicen que hay varias estaciones nuevas, la solución buscada es la segunda: hay 8 estaciones antiguas y 2 nuevas.

Defectuosos pero útiles

Una balanza desequilibrada, un metro menguado, unos dados con caras en blanco… ¿Hay que desecharlos? Nada de eso: tal vez puedan cumplir su función habitual, e incluso alguna más.

1. Una balanza está muy desequilibrada: al ponerlo en uno de los platillos, un lingote de oro pesa 9 kilos, y al ponerlo en el otro pesa 4 kilos. ¿Cuánto pesa en realidad?

2. Un vendedor de telas gana el 30 % sobre el precio de coste; pero un día descubre un metro defectuoso que hace aumentar sus beneficios al 33 %. ¿Cuánto mide en realidad el metro del vendedor tramposo?

3. Dos amigos que tienen una tienda de juegos reciben una partida de dados defectuosos: en algunas de las caras de la mayoría de ellos no se han marcado los números correspondientes y, por tanto, están en blanco. Uno de los amigos coge un dado que tiene tres caras en blanco y le propone al otro jugar de la siguiente forma: “Tú coges otro dado y los tiramos los dos; si salen dos caras en blanco o dos caras numeradas, gano yo; si sale una cara en blanco y otra numerada, ganas tú”. ¿Con cuántas caras en blanco ha de escoger su dado el segundo jugador para tener las mayores probabilidades de ganar?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’