La sutil relación de las matemáticas con la física

Las matemáticas, como muchas otras ciencias, viven hoy una situación un tanto paradójica.

Muchos de los problemas que actualmente se plantean y se están resolviendo son tan complejos que las técnicas y los detalles de las demostraciones parecen ser prácticamente inaccesibles para muchos de los matemáticos profesionales. Este hecho lo hemos podido apreciar en algunas conferencias plenarias del Congreso Internacional de Matemáticos, como las magníficas charlas de Richard Hamilton sobre la conjetura de Poincaré o de Sorin Popa sobre álgebras de Von Neumann. Sin embargo, a este proceso de especialización, que es muchas veces inevitable, se opone un sano y esperanzador mestizaje: para resolver muchos de estos problemas, además de ser un especialista, hay que ser capaz de poner en relación campos de las matemáticas que, aparentemente, están alejados entre sí. La demostración de la conjetura de Poincaré utiliza técnicas analíticas de ecuaciones en derivadas parciales, y parte de los problemas de la teoría de álgebras de Von Neumann se pueden traducir en planteamientos acerca de la acción de grupos sobre espacios de probabilidad. Uno de los aciertos de la comisión en la elección de los galardonados con las medallas Fields ha sido, precisamente, elegir a matemáticos que no tienen una visión compartimentada.

Un ejemplo más de mestizaje es la simbiosis en la que, en parte, viven las matemáticas y la física. Es una relación que tiene muchos siglos de tradición. David Hilbert, uno de los más grandes matemáticos, planteó en 1900 el tratamiento matemático de los axiomas de la física como uno de los problemas a los que los matemáticos del siglo XX tendrían que enfrentarse. En una de las conferencias de la sección de historia de la matemática, Leo Corry nos ha mostrado el interés permanente que Hilbert tuvo por casi todos los campos de la física de entonces. Otro ejemplo famoso es el artículo que en 1939 publicó Eugen Wigner en la revista Annals of Mathematics y donde se clasifican todas las representaciones unitarias del grupo de Poincaré, que es el grupo de simetría de la relatividad especial. Este trabajo constituye una de las aportaciones fundamentales para entender el concepto de partícula elemental que se utiliza en la física teórica. En el actual congreso hemos tenido ocasión de comprobar que la relación entre física y matemáticas sigue siendo hoy tan importante como entonces. Tanto en la espléndida conferencia plenaria de Percy Deift sobre el concepto de universalidad en matemáticas y en física, como en la laudatio de Wendelin Werner, uno de los galardonados con la medalla Fields, se han hecho presentes estas cuestiones. En la laudatio de Werner se insistió en que las matemáticas no sólo sirven para formular y probar de forma rigurosa afirmaciones con las que los físicos trabajan, sino, además, son necesarias para profundizar conceptualmente en muchos aspectos de la física.

Estas reflexiones señalan sucintamente algunas de las muchas perspectivas que se han abierto estos días en el Congreso Internacional de Matemáticos en Madrid.

Fernando Lledó es doctor del Instituto de Matemática Pura y Aplicada. Universidad de Aquisgrán, Alemania.