La conjetura de Poincaré en el Congreso de Madrid

En 1993, un joven matemático ruso, Grisha Perelman, estaba revolucionando la Geometría de Riemann. En 1994, desapareció.

Hube de esperar a mayo de 2003 para volver a oír su nombre. Perelman afirmaba haber demostrado la conjetura de Poincaré. Un mes después me encontré en Lecce con un colega que conocía a Perelman. Me contó algunas anécdotas sobre su silencio durante ocho años. A una invitación a un congreso respondió: "No, ahora no quiero hablar con ningún matemático". En otra ocasión fue más conciso: "No, gracias". Mi amigo lo admiraba tanto que (durante sus años de silencio) decía: "O se ha vuelto loco o está haciendo algo grande".

¿Pero, qué es la conjetura de Poincaré? ¿Por qué es algo grande? ¿Qué tiene que ver con el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) 2006, que se celebrará en Madrid del 22 al 30 de agosto?

Una conjetura matemática es una afirmación sin demostración. Cuando se demuestra, pasa a ser un teorema.

Henri Poincaré es uno de los matemáticos nacidos en el siglo XIX que más han influido en las Matemáticas del XX. Definía la topología como la geometría cualitativa: "Lo que queda a la geometría cuando se olvida la noción de distancia". La topología considera iguales cosas que se obtienen una de otra deformando sin romper, pues lo único que cambia al deformar es la distancia, de la que nos hemos olvidado. Así, en topología se consideran iguales un balón de fútbol, un balón de rugby y una naranja. Hay propiedades de la naturaleza (de partículas de la física, del ADN) que dependen sólo de la topología.

En 1904 Poincaré planteó el siguiente problema: "Si un espacio cerrado de dimensión 3 tiene la propiedad de que toda curva cerrada se puede deformar a un punto, ¿es una esfera?".

Aclaremos que un espacio cerrado es lo que en la literatura de ficción se llama finito pero sin límites (la superficie de una naranja es, en dimensión 2, un ejemplo de este tipo de espacio), y que la dimensión 3 es, simplemente, la dimensión del espacio físico en que vivimos. Nuestro espacio físico es cerrado (salvo agujeros negros). Una esfera de dimensión 3 es algo como una esfera ordinaria (de dimensión 2), pero de una dimensión superior. Una curva cerrada viene perfectamente representada por una goma elástica de las que se usan para recoger el pelo.

Con el tiempo se fue haciendo general el convencimiento de que la respuesta a la pregunta de Poincaré es "sí", convirtiéndose de este modo en una conjetura. El esfuerzo por demostrarla dio lugar a un conocimiento más profundo de los espacios de dimensión 3, hasta llegar a la conjetura de geometrización: "Todo espacio cerrado de dimensión 3 se puede obtener pegando entre sí, de manera adecuada, espacios homogéneos de dimensión 3", formulada a comienzos de los 80 por W. Thurston. En otras palabras, lo que esta conjetura afirma es que podemos dar la lista de todas las formas posibles del espacio físico. Si se demuestra la conjetura de geometrización, la de Poincaré aparece como una consecuencia.

Pues bien, Perelman afirma haber demostrado la conjetura de geometrización. Usa una técnica inventada por R. Hamilton a comienzos de los 80, cuya idea es muy natural: elijamos un espacio arbitrario de dimensión 3, miremos y veamos si es uno de los que nos dice la conjetura. El problema está en nuestra capacidad para reconocer un espacio al verlo. Los modelos de la conjetura son bastante bonitos (se obtienen pegando espacios homogéneos, en los que se ve el mismo paisaje desde todos sus puntos). Como en topología se consideran iguales espacios obtenidos por deformación de otro, puede ocurrir que ésta sea tal que nos incapacite para reconocer el espacio. Hamilton dio un método de deformación que consiste en seguir la solución de una ecuación de evolución en derivadas parciales (flujo de Ricci), que va en el sentido de lo más bello, de la homogeneización. Después de hacer trabajar a la ecuación (al flujo) durante algún tiempo, hace falta acudir a otros teoremas para reconocer las formas que aparecen. Algunos de esos teoremas eran resultados obtenidos hacía años por el propio Perelman, pero se le adelantaron en la escritura los japoneses Shioya y Yamaguchi.

Perelman ha escrito tres artículos relacionados con la conjetura. El primero contiene todas las ideas nuevas. Todos están de acuerdo en que éste y las primeras secciones del segundo son correctas. El resto del segundo es técnicamente más difícil, de modo que resulta arriesgado decir que uno ha comprobado absolutamente todos los detalles. Además, para acabar la demostración de la conjetura de geometrización hace falta también contrastar el artículo de los japoneses. Y, sobre esto, tampoco he oído opiniones definitivas.

A diferencia de los anteriores, el tercer artículo lo ha entendido todo el mundo. Este artículo, junto con el primero y la parte más comprensible del segundo, también demuestra (solo) la conjetura de Poincaré, sin necesidad de los resultados de los japoneses. Por ello, aunque sin pronunciamiento oficial, hay gran optimismo en que, al menos, la conjetura de Poincaré está demostrada.

¿Será el ICM 2006 el límite para dar el veredicto sobre la validez de la demostración de Perelman? Perelman ha sido invitado a dar una conferencia plenaria. Su respuesta a los organizadores del ICM 2006 ha sido más escueta que el "no, gracias" que respondió a mi amigo años antes. Simplemente, no ha contestado. ¿En qué conjetura andará pensando ahora?

Al menos, R. Hamilton, el inventor de la técnica usada por G. Perelman, si estará en el ICM 2006, y un topólogo, J. Morgan, dará una conferencia sobre la conjetura de geometrización y los trabajos de Perelman. Yo procuraré estar allí para verlo.

Vicente Miquel Molina es catedrático de Geometría y Topología de la Universidad de Valencia.