Un problema con fácil solución

Para realizar correctamente el sorteo era necesario tomar un número entre el 000001 y el 165.342, asignando idéntica probabilidad a cada uno de ellos. Sin embargo, el sorteo se hizo tomando de un bombo el número 0 ó 1 con igual probabilidad, escogiendo después, en un segundo bombo, un número del 0 al 9, de forma que el primer número escogido fue un 1 y el segundo un 8, por lo que se volvió a tomar una bola del segundo bombo, hasta que salió un número inferior o igual a seis". El error matemático radica en mantener fijo el resultado del primer bombo. Como consecuencia, no se asignó la misma probabilidad de salir a todos los números entre el 1 y el 165.342. La probabilidad de que tocara el número concreto A, situado entre el 1 y el 99.999, era de un medio por 1 dividido 99.999, mientras que la probabilidad de que tocara el número concreto B, situado entre el 100.000 y el 165.342, era de un medio por 1 dividido 65.342.Esto trae consecuencias sobre la probabilidad de salir excedente de cupo en el caso particular de cada recluta. Esta probabilidad varía según el número asignado al recluta, como se refleja en elgráfico. Es decir, los reclutas con número entre el 16.442 y el 99.999 tenían una probabilidad de salir excedente de cupo aproximadamente de 0,082, mientras que los situados en el tramo que va de 116.442 a 165.342 tenían una probabilidad aproximada de 0,1258, cerca del 50% más.

Para los reclutas situados entre el 1 y el 16.442, la probabilidad dependía linealmente del número asignado, de manera que el número 3 tenía más probabilidades que el 4. Lo mismo ocurría con el tramo de 100.000 a 116.342, pero inversamente: el recluta número 110.000 tenía menos probabilidades que el 110.101.

El sorteo estaría bien hecho si se hubieran tirado los 6 bombos seguidos, repitiendo todo el proceso. de sorteo, incluido el primer bombo, si saliera un número superior a 165.342. La probabilidad de tener que repetir una vez el sorteo por esta causa es, relativamente baja, de 0,173.

Si la asignación inicial de los números a los reclutas fue realmente aleatoria, no se ve la necesidad de un sorteo adicional: bastaba con declarar excedente de cupo a los 16.442 primeros.

Javier Portela es profesor de la Escuela de Estadística de la Universidad Complutense de Madrid.