Cien años de teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos fue, creada por un solo hombre, Georg Cantor, que la desarrolló durante 25 años de trabajo frenético. Con la publicación de la segunda parte de sus Contribuciones a la fundamentación de la teoría de conjuntos transfinitos, en 1897 (hace ahora cien años), concluía su obra, de una originalidad deslumbrante. Contra la oposición de la mayoría de sus colegas, Cantor aplicó el método matemático al ámbito previamente brumoso de lo transfinito, estudiando sus tipos de orden y sus tamaños, y creando la teoría de los números ordinales y cardinales infinitos.Así como no todos los conjuntos finitos son iguales en tamaño, tampoco lo son los infínitos. Hay la misma cantidad de números naturales que de números raciona les, pero Cantor probó (con su famoso argumento diagonal) que hay más números reales que naturales. Para medir la cantidad de elementos que tiene un conjunto introdujo los cardinales transfinitos. El primer cardinal transfinito mide la cantidad de números naturales. Hay tantos números reales como puntos hay en la recta euclídea, una entidad geométrica continua. Por eso, el conjunto de los números reales se llama el continuo. ¿Cuántos elementos tiene el continuo? Cantor conjeturaba que tiene la segunda cardinalidad transfinita, lo cual constituye la hipótesis del continuo. Trató desesperadamente de demostrar esta hipótesis, sin conseguirlo. También trató de justificar la aplicabilidad universal de su teoría de los números ordinales probando que todo conjunto puede ser bien ordenado. La prueba del teorema del buen orden la consiguió Zermelo en 1904, y la explicitación de los supuestos de la prueba le condujo en 1908 a la axiomatización de la teoría de conjuntos.

Nadie puede probar ni refutar la hipótesis del continuo, pues hoy sabemos que es independiente de los axiomas usuales de la teoría de conjuntos. Gödel probó en 1938 (mediante el modelo interno de los conjuntos constructibles) que la hipótesis del continuo es consistente con los otros axiomas. Paul Cohen probó en 1963 (mediante el método del forcing, que le permitía hinchar el modelo gödeliano con nuevos conjuntos) que también la negación de la hipótesis del continuo es consistente con los otros axiomas. De hecho, los axiomas usuales de la teoría de conjuntos (ZFC) son compatibles con cualquier cardinalidad transfinita que queramos asignar al conjunto de los números reales.

La situación actual de la teoría de conjuntos es similar a la de la geometría tras el descubrimiento de la independencia del axioma de las paralelas, que dio lugar al desarrollo de las geometrías no euclídeas. Hay muchas teorías de conjuntos distintas, que aceptan o rechazan alguno o varios de los múltiples e incompatibles principios propuestos, y que van desde el axioma de constructibilidad hasta el de forcing fuerte, pasando por el de Martin y una serie de afirmaciones de existencia de cardinalidades grandes. La sangre no llega al río, pues todas estas extensiones propuestas de la teoría tradicional de conjuntos tienen una amplia intersección común que contiene todos los resultados y definiciones necesarios para el desarrollo de las teorías matemáticas usadas en la ciencia real, como la geometría diferencial. Las diversas teorías sólo se diferencian en dominios muy avanzados y alejados de la aplicación. El parto de la teoría de conjuntos dejó agotado a Cantor, que pasó el resto de su vida en crisis nerviosas e internamientos en clínicas psiquiátricas. Murió encerrado en el manicomio de Halle en 1918. Pero su obra pervive y ha impregnado la enseñanza y la investigación, impulsando la unificación de toda la matemática superior sobre la base de su uniforme presentación conjuntista. Incluso perviven algunos de sus fantasmas, que nos siguen atormentando.