Los comienzos de la lógica moderna

Al mediodía de hoy la facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid rendirá un homenaje a Kurt Gödel, una de las más importantes figuras de la ciencia de todos los tiempos, fallecido hace pocas semanas en Estados Unidos. Según especialistas en la materia, Kurt Gödel revolucionó los fundamentos de la matemática en la misma medida que Einstein revolucionó los de la física. No obstante haber sido una figura científica de la talla de Gauss, Riemann, Poincaré, Hilbert, Von Neumann..., el alto grado de especialización que requiere la comprensión de su obra hace que ésta sea menos conocida que otras. Incluso en la mayoría de los sectores matemáticos la obra de Gödel es casi desconocida. Alfonso García Pérez conversó con José Fernández-Prida, miembro electo de la Asociación Alemana de Lógica y Fundamentos de la Matemática, quien explicó a EL PAIS el núcleo de la aportación científica de Kurt Gödel.

Si bien los primeros intentos de desarrollar una lógica simbólica se remontan a Leibnitz, que concibió la idea de construir un álgebra universal en la que fueran demostrables todas las proposiciones matemáticas verdaderas -idea que había pasado ya por la mente de Llul en pleno siglo XIII-, fue sin embargo Gottlob Frege, profesor de la Universidad de Jena, quien alrededor de 1880 sentó las bases en que habrían de apoyarse todas las investigaciones posteriores en el campo de la lógica formal y los fundamentos de la matemática.Frege fue quien desarrolló por primera vez un lenguaje formal -bidimensional, por cierto- en el que pueden formalizarse todas las proposiciones matemáticas, residiendo la clave del éxito en la introducción de los símbolos de cuantificación existencial y universal, el «para todo» y el «existe» del lenguaje matemático.

Para este lenguaje formal definió Frege un sistema de reglas lógicas que permitía reducir la actividad del matemático a un complejo juego de símbolos consistente en derivar unas expresiones (teoremas) a partir de otras iniciales (axiomas), utilizando exclusivamente las reglas del sistema.

Tras el desarrollo y simplificación de los sistemas formales, en los que tuvieron singular relevancia las investigaciones de Giuseppe Peano, los matemáticos ingleses Whitehead y Russell comenzaron la ingente tarea de reconstruir una parte considerable de la matemática en un sistema formal, labor que en parte llevaron a cabo en los Principia mathematica, obra ciclópea que fue apareciendo entre 1910 y 1913.

El método logicista

El nuevo método logicista planteaba, sin embargo, nuevos problemas, tres de los cuales presentaban singular relevancia. El primero de ellos hacía referencia a la consistencia y se enfrentaba con el interrogante de si el sistema formal sería o no contradictorio, como por cierto había resultado serlo el desarrollado por Frege. Para no tropezar con una cadena sin fin de problemas, la demostración de la consistencia debería realizarse con métodos finitistas.

El segundo problema se enfrentaba con la axiomatizabilidad de las teorías matemáticas. ¿Existiría para toda teoría un conjunto finito o, al menos, recursivamente definible de axiomas a partir de los cuales fuesen formalmente derivables todos los teoremas de la teoría en cuestión? ¿Existiría, por ejemplo, un tal conjunto de proposiciones aritméticas, a partir de las cuales pudiesen ser obtenidas todas las sentencias válidas de la teoría de números mediante la aplicación reiterada de unas determinadas reglas lógicas de inferencia?

El tercer problema hacía referencia a la decidibilidad del sistema -el «Entscheidungsproblem»- y consistía en encontrar, caso de que fuese posible, un procedimiento efectivo -un algoritmo en su sentido más amplio- que permitiese decidir en un número finito de pasos si una expresión era o no formalmente derivable a partir de un conjunto de axiomas.

La resolución de estos tres problemas constituyó el núcleo del famoso programa propuesto por David Hilbert a la Academia de Matemáticas de Hamburgo en 1927. Algunos resultados obtenidos en 1915 por el alemán Leopold Löwenheim, extendidos por el noruego Thoraf Skolem hacia 1920 -desarrollo de un procedimiento de decisión mediante un método de eliminación de cuantificadores-, parecían indicar la viabilidad del programa de Hilbert, aun cuando no sea difícil extraer resultados negativos relativos a ciertos sistemas formales a partir del más famoso de los teoremas de Skolem.