Primer gran teorema de Gödel: la completitud del cálculo de predicados

En 1930 surge en escena un estudiante de la Universidad de Viena, Kurt Gödel, nacido en 1906 en la ciudad de Brno de la actual Checoslovaquia, pero en aquel entonces parte integrante del Imperio Austro-Húngaro. En su tesis doctoral Gödel demuestra la completitud del cálculo de predicados de primer sistemade axiornasy reglas que permite derivar formalmente todas las proposiciones tautológicas de un lenguaje lo suficientemente expresivo como para que en él puedan ser formalizadas una parte muy considerable de las expresiones matemáticas.El teorema de completitud, poco conocido fuera de ámbitos especializados, entraña, sin embargo, sorprendentes resultados de incompletitud de otros sistemas.

Uno de ellos es la incompletitud del cálculo de predicados de segundo orden, basado en un lenguaje de mayor poder expresivo que el de primero, lo que permite dar en él una descripción completa de los números naturales. Puesto que todo teorema de completitud de un cálculo conduce a otro de finitud (o compacticidad) y puesto que éste implica que en el lenguaje del cálculo no puede darse una descripción completa de los números naturales (ya que del teorema de finitud se sigue la existencia de conjuntos cuyos elementos satisfacen, aparte de las propiedades descritas, otras que los números naturales no verifican), el cálculo de predicados de segundo orden, en el que los números naturales pueden ser caracterizados, no es posible que sea completo.

Otro resultado de incompletitud que, también a través del teorema de finitud, se deriva de la completitud del cálculo de predicados de primer orden, es la paradoja que ya había sido encontrada por Skolem. Esta en esencia consiste en el resultado, sólo aparentemente contradictorio, de que existen modelos de la teoría de conjuntos que sólo poseen un conjunío numerable de elementos (conjuntos), pese a que en la referida teoría sea un teorema que existe un conjunto no numerable de conjuntos.

En fin, una tercera consecuencia del teorema de completitud, íntimamente relacionada con las anteriores, es la existencia de un análisis «no standard», calificado por Gödel como el análisis del futuro, en el que existen elementos mayores que todo número real y, como consecuencia, otros elementos infinitamente pequeños. El análisis «no standard », desarrollado por Robinson a partir de 1961 se ha utilizado con éxito para simplificación de las pruebas de algunos teoremas clásicos e incluso ha permitido encontrar resultados nuevos. En la actualidad se investiga en su aplicación a la demostración automática de teoremas y las perspectivas parecen ser alentadoras.