Encuentran una explosión en las ecuaciones de los fluidos gracias al aprendizaje profundo

Las ecuaciones de Euler, propuestas en 1752, y las de Navier-Stokes –entre 1822 y 1842– son herramientas fundamentales para describir, en términos matemáticos, el comportamiento de los fluidos incompresibles –es decir, que no se pueden comprimir, como el agua–. Permiten entender fenómenos naturales como el flujo de los ríos o la ruptura de las olas. Sin embargo, la resolución de estas ecuaciones –incluso con la ayuda de potentes ordenadores– resulta muy difícil y costosa. Aun 250 años después de haberse escrito, suponen un misterio matemático.

Una de las preguntas fundamentales sobre ellas es si, partiendo de condiciones iniciales suaves –por ejemplo, si el mar está en calma– se puede desencadenar una singularidad –un tsunami– en las ecuaciones tras un periodo de tiempo finito. En términos matemáticos, la singularidad se produce cuando las variables que modelan el fenómeno físico, como la velocidad o la presión, pasan, de tener valores finitos, a ser infinitamente grandes, en un tiempo finito. Este es uno de los llamados problemas del milenio –el de las ecuaciones de Navier-Stokes-, cuya resolución está premiada con un millón de dólares.

Aunque ha habido avances parciales (como este y este otro), hasta el momento, todos los intentos por resolver esta cuestión han fracasado. Uno de los motivos es que no se entienden suficientemente bien las singularidades. Por ejemplo, no sabemos predecir cuán rápido se puede formar un torbellino o dónde ocurrirá.

Con un ordenador podemos mejorar nuestra comprensión de estos objetos, a través de experimentos numéricos que aproximan bien ciertas soluciones de la ecuación, candidatas a producir singularidades, es decir, a tomar valores infinitos, en un tiempo finito. A lo largo de los años, la comunidad ha identificado diversas soluciones numéricas de este tipo. Y, a medida que el poder de computación ha ido creciendo, estas candidatas han refutadas o validadas y complementadas con otras.

En 2014, Guo Luo (investigador de la Universidad Hang Seng de Hong Kong) y Thomas Y. Hou (Universidad de Caltech) produjeron una simulación de un fluido que se encontraba dentro de un cilindro, que, bajo ciertas condiciones de partida, parecía dar lugar a una singularidad.

Luo y Hou afirmaban que su singularidad era de un tipo concreto, llamado localmente autosimilar. En este tipo de soluciones, a medida que nos acercamos al momento de la singularidad, si hacemos zoom a la escala adecuada, observamos de nuevo la misma solución, como si fuera un fractal.

Pero, pese a lo prometedor del planteamiento, sus simulaciones tardaban meses en calcularse y eran difíciles de replicar. Además, ofrecían solo soluciones de un tipo concreto, llamadas estables, que, según la opinión generalizada de la comunidad matemática, no permitirían resolver el problema de Navier-Stokes. Recientemente, casi 10 años después, un grupo interdisciplinar de investigadores formado por un matemático español y otro australiano-británico, y dos geofísicos —chino y taiwanesa—, han confirmado la propuesta de Luo y Hou, hallando soluciones autosimilares para varios tipos de ecuaciones de los fluidos. Algunas de ellas son de tipo inestable —es decir, como las que se espera que puedan resolver el problema del milenio—. Este nuevo método permite comprender dónde y cómo se forma la singularidad y la forma que tiene la solución en cualquier momento antes de la explosión, incluso un instante antes.

Para ello, han hecho uso de técnicas de machine learning en matemática aplicada. En concreto, los investigadores parten de una solución aproximada que se va refinando gracias a una red neuronal, valorando en cada iteración lo bien que la aproximación satisface las ecuaciones, para mejorar la solución. Por ejemplo, si al aumentar el valor de la solución en un punto concreto, el error cometido al aproximar la ecuación se hace más pequeño, la red neuronal intentará encontrar una nueva candidata en esa dirección.

Es la primera vez que se usa el machine learning para resolver problemas de mecánica de fluidos lo que, para el grupo de científicos, ha permitido aproximar mejor la solución de la ecuación estudiada, además, empleando mucho menos recursos computacionales. Así, los cálculos que antes tardaban meses con un clúster ahora se pueden realizar en varias horas con un portátil. Esto, según afirman los autores, abre una nueva era de la interacción entre el cálculo tradicional y las herramientas computacionales más modernas.

Asimismo, aunque se han estudiado las ecuaciones en un caso confinado –dentro de un cilindro, como proponían Luo y Hou–, las conclusiones obtenidas pueden servir para analizar mejor el caso general –incluso en situaciones modelizadas por otras ecuaciones–. En particular, es posible que también se puedan aplicar para estudiar el problema de Navier-Stokes –el del milenio– que requiere que el fluido no esté confinado, entre otras diferencias técnicas. Por tanto, aún no podemos afirmar que este tipo de técnicas de machine learning vayan a encontrar la codiciada singularidad de las ecuaciones de Navier-Stokes, pero los últimos resultados en esta dirección son muy prometedores y, quizás, tan solo falte encontrar el candidato a solución adecuado para ver resuelto el famoso problema.

Javier Gómez-Serrano es profesor en la Universidad de Brown (EE UU)

Ágata Timón García-Longoria es coordinadora de Unidad de Cultura Matemática del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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