¿Cuál es la probabilidad de que se propague un incendio forestal?

Solo durante el pasado fin de semana, los incendios que están asediando España calcinaron 16 000 hectáreas. Según un artículo de este periódico, en 2022 se han quemado 140 000 hectáreas, casi siete veces más que la media anual para este periodo. El avance del fuego en el bosque es difícil de predecir, pero los modelos matemáticos permiten entender algunos aspectos esenciales. En concreto, la llamada teoría de la percolación emplea modelos de formación de cúmulos conectados en redes aleatorias para describir el avance de fuegos forestales. En los últimos años, el matemático francés Hugo Duminil-Copin ha realizado aportaciones importantísimas a esta área, lo que le ha valido una de las Medallas Fields de 2022. Su trabajo, a caballo entre la física y las matemáticas, ha revolucionado el campo, resolviendo muchos de los problemas existentes y extendiendo la teoría hasta límites inaccesibles previamente.

Al modelar la propagación de un incendio, es clave calcular la probabilidad de que el fuego permanezca aislado o de que, por el contrario, se extienda en amplias zonas. En dos dimensiones, con un análisis muy sencillo, el bosque se modela como una cuadrícula, compuesta por puntos, que son los árboles, y bordes, que conectan los puntos. Cada borde –cada unión de dos árboles– incluye además un valor, de la probabilidad de que se pase el fuego entre esos dos árboles. Si un borde propaga el fuego, recibe el nombre de borde abierto. Este modelo simplificado no tiene en cuenta el tiempo y asume que todos los árboles son idénticos e independientes.

A partir de este modelo, es posible obtener la probabilidad de que el fuego llegue al centro del bosque, lo que matemáticamente es equivalente a calcular la probabilidad de que se forme un camino (es decir, una sucesión de bordes abiertos) que comunique el centro de la cuadrícula con el exterior, donde se supone que se ha iniciado el fuego. Podemos pensar que el bosque es infinitamente grande y así simplificar la cuestión a calcular la probabilidad de que exista un camino infinito de bordes abiertos que pase por el centro del bosque.

Hasta la llegada de Duminil-Copin, este campo de investigación se limitaba principalmente a precisar los detalles del modelo simplificado que hemos descrito, llamado percolación de Bernoulli. Esta construcción matemática, introducida en 1957, permite calcular un valor concreto de la probabilidad de propagación del fuego entre árboles –llamado probabilidad crítica– a partir del cual aumenta mucho el riesgo de que el fuego llegue al centro del bosque. Efectivamente, si la probabilidad de contagio de fuego es muy baja (cercana a cero), casi seguro que todos los caminos serán pequeños (finitos) y, por tanto, el fuego no llegará al centro del bosque. En cambio, si esta es suficientemente alta (cercana a uno), casi seguro habrá caminos infinitos. El valor de la probabilidad en la que se produce esta transición de fase, entre la existencia o inexistencia de caminos infinitos, es la probabilidad crítica.

El modelo de percolación de Bernoulli tiene una clara limitación: que un borde sea abierto o cerrado es independiente del estado del resto de bordes, lo que es muy poco realista: en un incendio, que el fuego se propague o no entre dos árboles no depende solo de estos ejemplares. Duminil-Copin quiso sofisticar la teoría, con el fin de entender el caso de que esta probabilidad se vea afectada por otros bordes relativamente lejanos. Así, el refinamiento del modelo de Duminil-Copin permite considerar que la probabilidad de que un árbol acabe propagando el fuego depende del estado de los árboles cercanos.

La teoría de la percolación se emplea también para modelar la filtración de agua en un suelo rocoso, la dispersión de ciertas enfermedades, la propagación de un rumor, el estudio del ferromagnetismo y un largo etcétera. Duminil-Copin se especializó en este problema de la física matemática en el doctorado, que realizó en la Universidad de Ginebra bajo la dirección de Stanislav Smirnov, también medallista Fields.

En aquel periodo, estuvo atascado durante meses con un problema. Mientras pensaba en ello, nadando en el mar –el deporte es otra de sus grandes aficiones–, llegó a una idea que, aunque no funcionaba para resolver su problema inicial, sí permitía responder a una importante conjetura en combinatoria. El resultado fue publicado en 2012 en Annals of Mathematics, una de las más importantes revistas en matemáticas, y es una de las contribuciones de Duminil-Copin más citadas por la comunidad matemática.

Según reconoce el propio matemático, no podría haber realizado estos avances, que ahora son reconocidos con la Medalla Fields, sin sus colaboradores, con quienes le gustaría haber podido compartir el premio. La generosidad y visión de equipo de Duminil-Copin se extiende al resto de la comunidad científica. Por ejemplo, considera que escribir un artículo de la manera más clara y elegante posible es una señal de respeto hacia el resto de investigadores que van a pasar tiempo estudiando y usando ese trabajo.

Álvaro Romaniega es investigador predoctoral en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y becario en Ciencias Naturales y Tecnología en la Residencia de Estudiantes

Ágata Timón G Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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