Las matemáticas de los juegos malabares

No es fácil ser malabarista. Cada truco requiere práctica y habilidad —más de lo primero que de lo segundo — y, si se produce un error, este resulta tan evidente como una pelota cayendo al suelo. Tradicionalmente, los malabaristas han aprendido sus trucos los unos de los otros, lo que añade una dificultad adicional: ¿Cómo se explica un truco de malabares?

Explicar un truco con palabras no parece práctico. En su lugar, los malabaristas usan algo parecido a una partitura. En vez de las cinco líneas horizontales habituales de las partituras musicales, los malabaristas utilizan solo dos, normalmente verticales (En la siguiente imagen están representadas horizontalmente). Una representa la mano izquierda y la otra la derecha. A lo largo de estas dos líneas cada mano realiza una acción de forma alterna, como si jugasen por turnos. La acción que realiza normalmente la mano de un malabarista es la de lanzar una pelota u otro objeto. Se representan los lanzamientos dibujando líneas que van danzando entre ambas manos; a cada pelota se le suele asignar un color.

Esta representación sigue siendo algo farragosa, ¿será posible expresar este truco de un modo más práctico y compacto? A principios de los años ochenta unos estudiantes del CalTech y la Universidad de Cambridge hallaron la respuesta. Diseñaron la manera de asignar a cada truco de malabares una matrícula numérica única, la conocida como notación Siteswap. La del truco mostrado en la figura es la siguiente: 5314530. Pero, ¿por qué?

La clave de la notación Siteswap es contar el número de “pasos” que tarda un objeto en volver a aterrizar en una mano, la que sea. Lo mejor es verlo con un ejemplo, que se muestra en la siguiente imagen.

Como se muestra en el ejemplo, hay un par de casos especiales: un 0 representa una mano vacía, y un 2 representa una mano que sostiene una bola sin lanzarla. Además, la mayoría de los trucos de malabares repiten un patrón, de modo que la secuencia de números se repetirá una y otra vez.

Entonces, si la secuencia de números 5314530 describe de forma única e incontrovertible un truco de malabares, todas y cada una de las características y propiedades de dicho truco deben estar contenidas en la secuencia. Sin excepción.

El número tiene que ver con el tiempo que pasa volando la bola, y por tanto con la altura a la que se lanza y hay determinadas propiedades que se observan de forma sencilla en la secuencia de números. Por ejemplo, cuando aparece un número par, la bola se recogerá con la misma mano con la que es lanzada; si el número es impar, la bola cambiará de mano.

Otra propiedad menos obvia es la siguiente: al tomar la media aritmética de la secuencia se obtiene el número de objetos que se necesita para hacer el truco. En el ejemplo anterior, la media aritmética de los elementos de la secuencia 5314530 es (5+3+1+4+5+3+0)/7 = 3. Sólo con leer el nombre del truco sabemos cuántas pelotas nos harán falta, sin necesidad de dibujar nada.

Pero aún hay más. También podemos detectar trucos falsos. Si un malabarista afirma hacer el truco 41, al calcular la media aritmética se obtiene (4+1)/2=2,5. ¿Un truco con dos pelotas y media? No parece posible y en efecto no lo es (concretamente, porque haría que dos o más pelotas chocasen al mismo tiempo en la misma mano). ¡Y no ha habido que hacerlo para descubrirlo!

La notación Siteswap es lo suficientemente potente como para usarse en programas informáticos de diseño de trucos y se puede extender a trucos más complicados (con objetos que rotan, con varias personas, etc.). Es, además, un excelente ejemplo de cómo las matemáticas encuentran su aplicación en los lugares más insospechados.

Pablo Rodríguez Sánchez (@DonMostrenco) es físico, divulgador científico y doctor en matemáticas aplicadas.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, Twitter e Instagram, o apuntarte aquí para recibir nuestra newsletter semanal.