Cinco años sin Maryam Mirzakhani, exploradora de superficies

El 13 de agosto de 2014, Maryam Mirzakhani (1977-2017) fue galardonada con la medalla Fields, conocida como el “Nobel de las matemáticas” y otorgada a investigadores menores de 40 años. De esta manera, se convirtió en la primera mujer y también la primera persona iraní —la única en ambas categorías, hasta el momento— en recibir este premio. Solo tres años después, falleció a causa de un cáncer. Desde 2018, la fecha de su cumpleaños —12 de mayo— sirve para celebrar el Día Internacional de las Mujeres en Matemáticas.

Mirzakhani nació en Teherán (Irán), en los albores de la llamada Revolución de los Ayatolás. Fue alumna en la escuela Farzanegan para niñas, parte de la organización iraní para el desarrollo de talentos excepcionales. Desde su etapa en el instituto, despuntó por su creatividad y profunda capacidad de razonamiento, siendo capaz de relacionar conceptos muy diferentes para resolver problemas difíciles. Gracias a estas cualidades, fue —junto con su gran amiga Roya Bereshti, actualmente profesora en la Universidad de St. Louis (EE UU)— la primera mujer iraní en participar en la Olimpiada Internacional de Matemáticas, donde obtuvo medallas de oro en sus dos participaciones.

La reputación de Mirzakhani fue creciendo durante su época universitaria, cuando publicó su primer artículo de investigación y también un libro de texto sobre teoría de números, que continúa siendo la referencia básica en la materia para los estudiantes en Irán. Gracias a estos logros, le ofrecieron una beca para hacer el doctorado en la prestigiosa Universidad de Harvard (EE UU). Allí comenzó a frecuentar el seminario de geometría de Curtis T. McMullen, medallista Fields en 1998 por sus trabajos en geometría y dinámica compleja; fascinada por las matemáticas del seminario, Mirzakhani comenzó su tesis, con McMullen como director, sobre las llamadas superficies hiperbólicas.

¿Qué son estos objetos? Una superficie es un objeto de dos dimensiones, como un plano, una esfera o la superficie de un donut. Algunas superficies son “limitadas” (compactas, en lenguaje matemático), como la esfera o el donut, y otras no, como el plano. Si la superficie es limitada, sabemos que es posible deformarla, sin rasgarla, hasta obtener una esfera o un donut con un número finito de agujeros. Es decir, toda superficie limitada está determinada, salvo deformación, por su número de agujeros, llamado el “género” de la superficie.

Desde el punto de vista de la geometría, se consideran las superficies equipadas con una métrica, una manera de medir ángulos, áreas y distancias sobre la superficie, que a su vez describe la forma (la curvatura) de la misma. Podemos entender una métrica como una especie de lente con la que explorar la superficie, y que determina, de alguna manera, el paisaje que observamos.

Por ejemplo, al representar una superficie en nuestro espacio tridimensional podemos usar la forma natural que tenemos en él de medir ángulos, áreas y distancias, y obtenemos inmediatamente una métrica en la superficie, que llamamos métrica del espacio tridimensional. Pero esta es solo una de las diferentes maneras de definir métricas, hay otras, que distorsionarían el paisaje a nuestro alrededor de diversas formas, como lo hacen los espejos de la casa de los espejos de una feria.

Hay cierto tipo de métricas especialmente interesantes —las llamadas de curvatura constante—, que tienen la propiedad de que, midiendo —observando— con ellas, desde cualquier punto, la superficie tiene la misma forma alrededor. Son filtros a través de los que el paisaje se ve exactamente igual desde cualquier punto. Así ocurre, por ejemplo, con la métrica del espacio tridimensional en la esfera: desde cualquier punto, vemos lo mismo. En cambio, con esta métrica tridimensional, en el donut la situación es distinta: desde los puntos cercanos al agujero, alrededor, se observa una forma cualitativamente diferente a la que se ve desde un punto del exterior.

Sin embargo, podemos definir otras métricas en el dónut, y en superficies con más agujeros, que sí son de curvatura constante. De hecho, sabemos que hay un número infinito de estas métricas. Las superficies de género mayor que uno, equipadas con una métrica de curvatura constante, se conocen como superficies hiperbólicas.

El conjunto de todas las superficies hiperbólicas con un número g de agujeros fijado se llama “espacio de móduli de superficies de género g” y tiene gran importancia en matemáticas y física. En su tesis, Mirzakhani hizo importantes descubrimientos sobre la forma de este objeto, que a su vez le permitieron comprender aspectos geométricos fundamentales acerca de las superficies hiperbólicas que lo componen, en concreto sobre el número de objetos de cierto tipo —“lazos” de longitud dada— que contienen.

Los resultados de la tesis de Mirzakhani tuvieron una gran repercusión, y se publicaron en revistas matemáticas de máximo prestigio. Esto, junto con sus cualidades personales —su actitud alegre y desenfadada, su perseverancia y su capacidad para imaginar estrategias de razonamiento que iban mucho más allá de lo inmediato—, fue clave para que se consagrara, incluso durante esta etapa formativa, como una de las figuras más influyentes en su campo.

En 2004 fue fichada por la Universidad de Princeton, donde permaneció hasta 2007, cuando obtuvo una plaza de catedrática en la Universidad de Stanford. En aquel periodo, Mirzakhani también hizo contribuciones de gran impacto sobre ciertos objetos de la geometría y la dinámica, llamadas mesas de billar generalizadas. Como su nombre indica, estos objetos abstractos modelizan el movimiento de las bolas de billar sobre mesas de diferentes formas.

Maryam Mirzakhani fue una pionera en muchos sentidos, y su vida muestra una historia poderosa de determinación y de dedicación al avance del conocimiento. Por su trayectoria, científica y humana, su figura se ha convertido en un ejemplo para generaciones futuras de mujeres, y también de hombres, interesadas por las matemáticas y la ciencia en general.

Javier Aramayona es científico titular en el Consejo Superior de Investigaciones Científicas, miembro del ICMAT y codirector científico de la Unidad de Cultura Matemática de ICMAT.

Ágata Timón es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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