Geometría fractal para la detección eficaz de tumores

Estos métodos permiten caracterizar los cambios de irregularidad que se producen en los contornos de las células, tejidos y redes vasculares durante el desarrollo de alguna masa anormal

Fractal de Mandelbrot. Gráfico de computadora que muestra una imagen fractal derivada del conjunto de Mandelbrot. La geometría de los fractales se utiliza para derivar formas complejas como ocurre a menudo en la naturaleza.
Fractal de Mandelbrot. Gráfico de computadora que muestra una imagen fractal derivada del conjunto de Mandelbrot. La geometría de los fractales se utiliza para derivar formas complejas como ocurre a menudo en la naturaleza.PASIEKA (Getty)

Según muestran estudios científicos relativamente recientes, es posible identificar las primeras etapas de formación de tumores con técnicas de geometría fractal y multifractal. Estos métodos permiten caracterizar los cambios de irregularidad que se producen en los contornos de las células, tejidos y redes vasculares durante el desarrollo de alguna masa anormal. Así, se podría determinar el grado de lesión producido en el tejido primario y ayudar a reducir los diagnósticos erróneos o las ambigüedades diagnósticas.

La idea de fractal –término propuesto en 1975 por el matemático Benoît Mandelbrot (1924-2010)– se vincula a un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas, lo que se conoce como autosemejanza y cuya construcción y desarrollo teórico nos sumerge en el mundo matemático de los procesos infinitos.

Podemos atisbar esta propiedad en la estructura de algunas clases de plantas o árboles –por ejemplo, en una cabeza de coliflor y en algunas clases de helechos en los que cualquier hoja parece una réplica de la figura completa–, o en el contorno de algunas nubes, lo que en la lejanía se percibe como una única nube, visto de más cerca pueden aparecer fragmentos más pequeños que se repiten a diferentes escalas.

Un ejemplo de lo que hoy en día catalogamos como fractal matemático fue propuesto en 1915 por el científico polaco Wacław Franciszek Sierpiński (1882-1969). Su construcción, a partir de un triángulo, proporciona una secuencia de figuras geométricas que encierran un área que tiende a cero y cuyo perímetro tiende a infinito. Esto hace que, con tal de recoger eficazmente su grado de irregularidad y fragmentación (y también su eficacia para ocupar o llenar un espacio o conjunto), surja la idea de asociar una dimensión no entera a un objeto fractal a caballo entre la línea y la superficie. En el caso del triángulo de Sierpinski, la dimensión (de autosemejanza) asociada es aproximadamente de 1,585.

Primeras iteraciones en la construcción del triángulo de Sierpinski.
Primeras iteraciones en la construcción del triángulo de Sierpinski.

La existencia de fractales autosemejantes en el mundo real no es plausible. En efecto, no se perciben copias reducidas del objeto inicial que sean totalmente exactas y, además, se observa únicamente un número finito de niveles de autosemejanza. Sin embargo, muchos elementos de la naturaleza también presentan una forma enmarañada y es posible identificar un patrón fractal imperfecto o aproximado mediante el análisis fractal. Un ejemplo de ello es el tratamiento de las imágenes digitales, ampliamente utilizadas para el diagnóstico médico. Por ejemplo, aunque muchos procesos cancerígenos se dejan notar en la superficie, su morfología puede ser muy distinta en función de la escala con la que se observa y, en este sentido, el análisis exhaustivo realizado con la ayuda de estas imágenes contribuye a estimar las distintas propiedades morfológicas existentes.

Pero no es fácil proporcionar un valor numérico que represente fielmente la forma irregular de estos elementos naturales. Un parámetro que se utiliza habitualmente es la llamada dimensión por recuento de cajas, que correlaciona las observaciones a diferentes graduaciones del mismo fragmento analizado, permitiendo cuantificar la rapidez con la que se desarrollan las irregularidades existentes (a medida que el tamaño de la observación o de caja se va haciendo cada vez más pequeño).

Retículo de cuadrados de igual tamaño cubriendo la porción de imagen seleccionada, previamente binarizada o convertida en blanco y negro.
Retículo de cuadrados de igual tamaño cubriendo la porción de imagen seleccionada, previamente binarizada o convertida en blanco y negro.Wikipedia

Este proceso de conteo acarrea buenos resultados en el caso de que el contorno analizado se ajuste de algún modo a la propiedad matemática de la autosemejanza. Sin embargo, la complejidad de algunas imágenes hace que el valor obtenido del parámetro (a modo de dimensión fractal) pueda no ser identificativo de su estructura inherente. Esto se puede arreglar mediante el análisis multifractal.

La multifractalidad analiza la distribución de los píxeles identificativos del contorno estudiado, no únicamente el recuento de cajas o cuadrados que intersecan con el contorno, lo que permite estudiar de forma local su estructura interna y la variación existente en la morfología considerada. De esta manera, en lugar de trabajar con un solo parámetro o dimensión, se hace indispensable manejar un conglomerado de valores —técnicamente conocido con el nombre de espectro multifractal— que permita evaluar, por ejemplo, las distintas propiedades de escala y densidad que pudieran estar presentes. En el caso de monofractalidad (esto es, simplemente, fractalidad), este espectro se reduciría a un conglomerado de valores superpuestos.

El análisis multifractal se emplea para la exploración pormenorizada de imágenes médicas, cada vez más, gracias a la mejora de la tecnología involucrada. En 2015, el grupo dirigido por Igor Sokolov (Universidad Tufts) y Craig Woodworth (Universidad Clarkson) publicó una serie de resultados que mostraban estructuras multifractales en la superficie de las células que están a punto de transformarse en cancerosas —en concreto en tejidos de cuello uterino, conectando el cuerpo del útero con la vagina—. Estas estructuras no están presentes ni en las células sanas ni en las células enfermas del mismo tejido, por lo que, identificándolas, sería posible realizar un diagnóstico de esta enfermedad, antes de que se desarrolle el tumor.

Estos prometedores estudios realizados sugieren que esta joven área de las matemáticas podría ser clave en la detección eficaz de anomalías e identificación a tiempo de un posible problema cancerígeno de cuello uterino.

Juan Matías Sepulcre Martínez es Profesor Titular de Universidad en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Alicante

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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