Cajas

Los contenedores ortoédricos, como las cajas de cartón y los tetrabriks, dan lugar a interesantes problemas de optimización

Fotograma de la serie 'Los Simpson'.
Fotograma de la serie 'Los Simpson'.

Nos preguntábamos la semana pasada si para colorear el mapa de Andalucía de modo que sus provincias queden claramente diferenciadas —es decir, sin que dos provincias limítrofes sean del mismo color— son necesarios cuatro colores o se puede lograr con menos. Y nos hacíamos la misma pregunta con respecto a la España peninsular dividida en comunidades. Pues bien, con tres colores es suficiente tanto en el caso de las ocho provincias andaluzas como en el de las 15 comunidades peninsulares, como se ve en la figura.

Sin embargo, para colorear de esta manera el mapa de las provincias peninsulares son necesarios cuatro colores. Para deducirlo no es necesario examinar todo el mapa: basta con darse cuenta de que hay provincias que están rodeadas por un número impar de vecinas. Si el número fuera par, bastaría con dos colores alternados para colorear las provincias circundantes más uno para la circundada, tres en total; pero si el número es impar, la alternancia termina con dos provincias circundantes del mismo color juntas; por lo tanto, hacen falta tres colores para estas y otro para la central, que limita con todas ellas. En la figura vemos el caso de Valladolid, rodeada por otras siete provincias.

En cuanto a los sobres, el abierto puede dibujarse de un solo trazo, pero el cerrado no, porque en todos sus vértices concurren tres aristas. Como el lápiz parte de un vértice, a los otros tres tiene que llegar, salir y volver a llegar (y ya no podría volver a salir sin pasar otra vez por un camino ya recorrido), con lo que tendría que terminar su itinerario en tres puntos a la vez, lo cual es obviamente imposible. En el caso del sobre abierto, sin embargo, solo hay dos vértices (los inferiores) en los que concurren tres aristas, por lo que el recorrido del lápiz puede empezar en uno de ellos y terminar en el otro. Generalizando, cuando en un nodo concurre un número par de aristas, si el recorrido parte de él ha de terminar en él; y viceversa: cuando el número de aristas concurrentes en un nodo es impar, si el recorrido parte de él no puede terminar en él. Como en el caso de los mapas, la paridad es la clave, puesto que, pese a que parecen problemas muy distintos, ambos se pueden esquematizar mediante grafos similares.

Del sobre a la caja

Y de los sobres rectangulares, los contenedores planos por excelencia, podemos saltar a las cajas ortoédricas, los contenedores tridimensionales más comunes. Entre ellos, el familiar tetrabrik de un litro, cuyas dimensiones son aproximadamente 20x10x5 cm (más bien 19x9x5.9, pero el nuestro es el tetrabrik ideal platónico). Una forma elegante (cada lado es la mitad del anterior) y manejable; pero ¿es óptima desde el punto de vista del aprovechamiento del material? ¿Qué ahorro sería posible, en centímetros cuadrados de envoltura, si optimizáramos la relación volumen/superficie?

Tanto las bases (10x5) como las caras laterales mayores (20x10) de nuestro tetrabrik son dominós, y las caras laterales menores (20x5) son tetrominós rectos (rectángulos cuyo lado mayor es el cuádruplo del menor). Teniendo esto en cuenta, ¿de cuántas maneras diferentes podemos recubrir con tetrabriks -apoyándolos sobre cualquiera de sus caras- un tablero de ajedrez estándar de casillas de 5 cm de lado? ¿Y un tablero de damas de 10x10 casillas? ¿Es posible, en uno u otro caso, algún recubrimiento sin líneas de fractura? (Ver el artículo “Sin líneas de fractura”, del 10 12 21).

Y, para terminar, un problema propuesto por nuestro asiduo comentarista Luca Tanganelli:

Hallar todos los ortoedros de lados enteros tales que volumen + perímetro = área.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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