Cajas problemáticas

En el problema de la semana pasada de las tres esferas en una caja ortoédrica, la única dificultad estriba en calcular una de las dimensiones de la base, ya que la otra es obviamente el doble del diámetro de las esferas y la altura es dicho diámetro (10 cm). Y la dimensión faltante tampoco es difícil de hallar si nos damos cuenta de que es igual a la altura del triángulo equilátero determinado por los centros de las esferas más dos veces su radio, o sea, 10 + 5√3 = 18.66 cm.

Como la primera vez que propuse el problema, hace dos semanas, no iba acompañado del dibujo correspondiente, un lector entendió que la caja era cúbica, y la confusión lo llevó a descubrir otro interesante problema: meter tres esferas iguales de radio máximo dentro de un cubo de lado 1. El radio de las esferas no es difícil de calcular (¿cuánto mide?); pero lo más curioso de este empaquetamiento es que, como se puede apreciar en la figura, en la caja cúbica cabe una cuarta esfera del mismo tamaño.

En la sección de comentarios de la semana pasada se mencionaron otros problemas de cajas y paquetes, y uno de ellos (ver comentario 22) me sugirió la siguiente variante:

Una empresa de mensajería opera exclusivamente con cajas ortoédricas, ninguna de cuyas tres dimensiones (largo, ancho y alto) puede exceder de 1 metro. ¿Es posible enviar mediante dicha empresa una caja rígida de 20 x 90 x 120 cm?

Y hablando de variantes, he aquí un clásico relacionado con la caja con dos candados de hace un par de semanas:

Tres socios comparten una caja fuerte con varias cerraduras. Ninguno de ellos puede abrir la caja por sí solo, pero dos socios cualesquiera sí pueden abrirla sin contar con el tercero. ¿Cuántas cerraduras hay en la caja y qué llaves tiene cada socio?

¿Y si son cuatro socios? Como en el caso anterior, han de ser mayoría para poder abrir la caja: cualquier grupo de tres socios puede abrirla, pero ningún grupo de dos puede hacerlo.

Es interesante generalizar el problema para n socios con la condición de que cualquier subconjunto mayoritario de ellos pueda abrir la caja, pero ninguno no mayoritario pueda hacerlo.

Cofres lógicos

Para terminar (por ahora) con los problemas de cajas, uno del maestro Raymond Smullyan inspirado en El mercader de Venecia de Shakespeare:

Porcia tiene tres cofres, uno de oro, uno de plata y uno de plomo, y dentro de uno de los cofres está su retrato. Junto a cada cofre hay un letrero: en el letrero del cofre de oro pone “El retrato está aquí”, en el del cofre de plata pone “El retrato no está aquí” y en el del cofre de plomo pone “El retrato no está en el cofre de oro”. Sabiendo que a lo sumo uno de los tres letreros dice la verdad, ¿en qué cofre está el retrato de Porcia?

Y una variante un poco más complicada:

En el letrero del cofre de oro pone “El retrato no está en el cofre de plata”, en el letrero del cofre de plata pone “El retrato no está aquí” y en el letrero del cofre de plomo pone “El retrato está aquí”. Sabiendo que al menos una de estas tres afirmaciones es verdadera y al menos una es falsa, ¿en qué cofre está el retrato de Porcia?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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