Pájaros, peces y balanzas

¿Qué ocurre en una balanza cuando el contenido de sus platillos tiene vida propia?

'Pájaros y peces', de M. C. Escher.
'Pájaros y peces', de M. C. Escher.

La exótica moneda de la ilustración de la semana pasada fue emitida en Rusia en el siglo XVIII, durante el reinado de Catalina la Grande, pesaba cerca de 60 gramos y es la moneda de curso legal más pesada que se conoce. Esa es su relación con el artículo, titulado “La moneda más pesada”.

Dadas 9 monedas de las cuales una es falsa y pesa más que las demás, podemos identificar la falsa con solo dos pesadas. Ponemos 3 en un platillo y 3 en el otro; si la balanza está en equilibrio, sabemos que esas 6 son buenas, luego la falsa es una de las 3 restantes. Comparamos 2 de ellas; si la balanza está en equilibrio, la falsa es la restante; si la balanza se inclina hacia un lado, ahí está la falsa. Si en la primera pesada la balanza se inclina hacia un lado, una de las 3 de ese lado es la falsa, y procedemos como en el caso anterior.

Si en vez de 9 monedas tenemos 27, comparando 9 y 9 en la primera pesada llegamos al caso anterior, por lo que bastarán tres pesadas. Y si son 81, comparando 27 y 27… En general, si tenemos 3 elevado a n monedas y una de ellas pesa más, bastarán n pesadas para identificar la falsa moneda.

La situación se complica, y mucho, si sabemos que una de las monedas es falsa, pero ignoramos si pesa más o menos que las auténticas. La versión con 12 monedas es un clásico ampliamente estudiado desde 1945 y sobre el que hay abundante información en la red. Como anécdota. Raymond Queneau le habló a su amigo Jacques Lacan del acertijo de las 12 monedas, y el famoso psiquiatra francés lo amplió a 13: según él, es posible resolver el problema en tres pesadas incluso con una moneda más, mediante lo que llama la “posición por tres y uno”. No contento con esto, Lacan afirmó: “Esta posición por tres y uno es la forma original de la lógica de la sospecha”. Sin comentarios (por mi parte: mis sagaces lectoras/es pueden comentar lo que consideren oportuno).

Animalillos inquietos

No guardemos todavía la balanza, pues ahora vamos a comparar dos jaulas iguales con sendos pajaritos, también iguales, posados en sus respectivos columpios. Ponemos una jaula en cada platillo y la balanza está en equilibrio, como era de esperar. Pero, de pronto, uno de los pajaritos revolotea durante unos segundos por el interior de su jaula, luego se posa de nuevo en el columpio y, agotado por el esfuerzo, se desmaya y cae al fondo de la jaula, donde queda inmóvil. Para alivio de todos, se recupera rápidamente y sube de un salto a su columpio. ¿Cómo se ha comportado la balanza a lo largo de todo este proceso?

Ahora, en vez de dos jaulas, tenemos en la balanza dos peceras iguales con sendos pececillos idénticos nadando apaciblemente en su interior. De pronto, uno de los peces salta fuera del agua, aunque por suerte vuelve a caer dentro de su pecera. ¿Qué pasa con la balanza?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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