El jove català que s’enfronta al problema matemàtic del milió de dòlars

Fa més d'un mil·lenni, l'any 875, el científic i poeta Abbàs ibn Firnàs va saltar des de dalt de tot d'una torre de Còrdova. La ciutat era llavors la capital cultural del món. I el savi, de 65 anys, estava disposat a demostrar que era possible volar. Amb unes ales de seda i plomes, Abbàs ibn Firnàs es va llançar al buit, va planar durant uns segons sobre els cordovesos, bocabadats, però es va estampar a terra i es va destrossar l'esquena per sempre. La humanitat encara no estava preparada per volar.

“Pot ser que el problema sigui tan difícil que estiguem en el segle equivocat”, reflexiona sobre la seva pròpia situació Francesc Castellà, nascut a Barcelona el 1986. El seu desafiament és tan imponent com el d'Abbàs ibn Firnàs. S'enfronta a la conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer, un dels anomenats set problemes matemàtics del mil·lenni. Qui el resolgui rebrà la recompensa de l'Institut Clay de Matemàtiques, que dóna un milió de dòlars per a cadascun dels reptes.

“Pot ser que el problema sigui tan difícil que estiguem al segle equivocat”, admet el matemàtic Francesc Castellà

La conjectura va ser enunciada el 1965 pels matemàtics britànics Bryan Birch i Peter Swinnerton-Dyer. El matemàtic Víctor Rotger —que va ser tutor de Castellà al començament de la seva carrera a la Universitat Politècnica de Catalunya— ha intentat exposar aquest problema en un llenguatge accessible. La seva explicació ocupa 50 pàgines, en què recorda la primera vegada que va sentir parlar de la conjectura, mesos abans d'acabar la seva llicenciatura, el 1998. Va ser al despatx de la que seria la seva directora de tesi doctoral, Pilar Bayer. “No sé quina devia ser la meva expressió durant els minuts que vaig ser al despatx de Pilar Bayer aquella primera vegada, però jo em sentia com un paracaigudista precipitant-me sobre una ciutat on no havia estat mai”.

A grans trets, es podria dir que la conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer sosté que hi ha una manera senzilla d'esbrinar si unes equacions que defineixen corbes el·líptiques tenen un nombre finit o infinit de solucions racionals. Alguns dels millors cervells matemàtics de la nostra època s'han trencat la closca intentat resoldre aquest problema. Castellà, que als 30 anys és investigador a la Universitat de Princeton (EUA), està acumulant recursos intel·lectuals per enfrontar-s'hi.

El jove matemàtic català té un currículum impecable. Aquest dilluns va rebre el Premi Vicent Caselles, atorgat a joves investigadors brillants per la Reial Societat Matemática Espanyola i la Fundació BBVA. Abans de Princeton, va estar entre el 2013 i el curs passat com a professor adjunt a la Universitat de Califòrnia a Los Angeles. I abans es va doctorar a la Universitat de McGill, a Mont-real (Canadà).

Que ningú ens robi els diners del banc ni ens llegeixi el Facebook depèn de les solitàries guerres matemàtiques que encaren cervells com el de Castellà

Són problemes tan extremadament difícils que per resoldre'ls cal obrir nous camins en les matemàtiques. El també investigador de Princeton Charles Fefferman, nen prodigi de la disciplina, es va enfrontar a tants problemes en la dècada del 1970 que pel camí va deixar milers de càlculs. Aquests avanços en territori desconegut van servir després, per exemple, per completar el desenvolupament de les ondetes, unes eines que permeten descompondre imatges en paquets d'informació més senzills. Gràcies a aquestes matemàtiques van poder néixer les fotografies digitals comprimides que avui omplen els nostres telèfons mòbils.

Castellà reconeix que no sap si la demostració de la conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer tindria “aplicacions directes”, tot i que recorda que les corbes el·líptiques són la base d'un dels mètodes més utilitzats en sistemes de criptografia, la ciència que codifica la informació. “D'alguna manera, el que fa que aquests sistemes siguin tan segurs és la complexitat d'aquesta aritmètica de corbes el·líptiques. Si arribem a entendre-la molt millor, podrien sorgir nous sistemes encara més segurs”, imagina l'investigador. Que ningú ens robi els diners del banc ni ens llegeixi el Facebook depèn de les solitàries guerres matemàtiques que encaren cervells com el de Castellà.

Des del 2000, quan van ser adoptats per l'Institut Clay, només un dels set problemes del mil·lenni ha estat resolt. Va ser la conjectura de Poincaré, enunciada originalment el 1904. Suggeria que, en un món de quatre dimensions, un espai sense forats seria equivalent a una esfera. El problema es va mantenir intacte gairebé un segle, fins que el matemàtic rus Grigori Perelman, després d'una immersió de vuit anys, va poder demostrar-ho. Després de la seva victòria, va rebutjar el milió de dòlars i la medalla Fields, considerada el Nobel de les matemàtiques, i viu apartat del món amb la seva mare en un pis atrotinat de Sant Petersburg.

Castellà acaba de rebre el premi Vicent Caselles, atorgat a joves matemàtics brillants

“Potser no cal tornar-se boig, però per resoldre un d'aquests problemes necessites una dedicació absoluta”, confirma Castellà. “Les grans coses no s'aconsegueixen per casualitat. Quan t'enfrontes a un problema tan complicat, al qual ments tan brillants han dedicat el seu temps i contra el qual han fracassat, si tu vols arribar més lluny hauràs de recórrer aquests mateixos camins sense retorn i arribar encara més enllà. És impossible que un sigui capaç d'arribar tan lluny dedicant-s'hi parcialment. T'hi has de dedicar plenament”, defensa.

Castellà encara està construint les seves ales. Quan es llanci des de la seva torre, no sabrà si són de seda i plomes, com les d'Abbàs ibn Firnàs, o si són capaces de volar de debò, com les que van desenvolupar més d'un mil·lenni després els germans Wilbur i Orville Wright, quan van aconseguir el primer vol de motor controlat, el 17 de desembre del 1903. “Tenim unes certes eines matemàtiques i esperem que siguin prou potents per resoldre el problema. Però també és possible que necessitem progressar durant dècades perquè apareguin les idees i les tècniques que finalment resolguin la demostració. És tan difícil dir que sí com dir que no. Simplement, no els sabem”, reconeix.

La seva tesi doctoral, incomprensible per a bona part de la humanitat, va desenvolupar “una nova perspectiva en la construcció de Howard de punts de Heegner associats a famílies de Hida, i va donar lloc a importants avanços en la conjectura de Bloch-Kato”. Són eines per aconseguir el seu objectiu. És la manera matemàtica de dir que Castellà afila les seves armes per al futur assalt a la conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer. El jove investigador lluita contra el rellotge: “Es diu que si un matemàtic ha de fer una contribució amb la qual ha de passar a la història, ha de fer-la abans dels 40 anys. Jo en tinc 30”.