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Así ayudaron las matemáticas a calcular la propagación de epidemias

Daniel Bernoulli, nacido un día como hoy en 1700, formuló un modelo epidemiológico para la viruela

Retrato de Daniel Bernoulli.
Retrato de Daniel Bernoulli.

Las enfermedades contagiosas han sido una amenaza para la humanidad a lo largo de la historia. Durante siglos su propagación permaneció envuelta en el misterio, ya que se desconocían sus causas biológicas y sus mecanismos de contagio. Como ya se ha comentado en este periódico, las matemáticas han jugado un papel relevante en la comprensión de estos procesos. En concreto, una aportación importante se debe al gran matemático Daniel Bernoulli (1700-1782), cuyo cumpleaños se celebraría hoy, 8 de febrero.

Bernoulli formuló un modelo epidemiológico para la viruela. Para combatir esta temida enfermedad, desde principios del siglo XVIII se planteó en Europa la posibilidad de adoptar la inoculación como medida preventiva. La práctica consistía en introducir una pequeña cantidad de material biológico procedente de un enfermo en una persona sana, de modo que esta desarrollara una versión benigna de la enfermedad, con la esperanza de que una vez superado ese trastorno la persona adquiriera inmunidad. La práctica no estaba exenta de riesgos, ya que un pequeño porcentaje de los inoculados podía desarrollar la viruela y morir como consecuencia de la misma. Por esta razón, la práctica de la inoculación se convirtió en un tema sumamente polémico.

Bernoulli fue profesor de Anatomía, y también de Matemáticas, en la Universidad de Basilea. Sus conocimientos, médicos por un lado y matemáticos por otro, le permitieron proponer un modelo matemático para estimar la propagación de la viruela. Aunque en su época se desconocía el agente causante de la enfermedad, Bernoulli postuló las siguientes hipótesis epidemiológicas: la probabilidad de contraer la viruela (q) es la misma para cada persona con independencia de su edad; entre quienes enferman de viruela, la probabilidad de morir por su causa (p) es también independiente de la edad; quienes sufren la viruela y la superan, no vuelven a contraerla jamás.

A partir de estos axiomas y usando los métodos del recién inventado cálculo infinitesimal (al que contribuyó de manera significativa), Bernoulli obtuvo una fórmula para describir la transmisión de la enfermedad en una población. Esta fórmula relaciona el número de personas con edad x susceptibles de ser infectadas (S(x)) con el número de personas vivas con esa edad (P(x)). La expresión a la que llegó fue: S(x) / P(x) = 1 / ((1 -p)exp(qx)+p)

Para valorar la utilidad de su fórmula, Bernoulli necesitaba estimar los parámetros p y q. Basándose probablemente en su experiencia profesional Bernoulli propuso el valor para la tasa de mortalidad p. Ahora bien, para estimar q, Bernoulli necesitaba datos, y los disponibles eran muy escasos. De hecho, el registro oficial de nacimientos y muertes y la especificación de las causas de estas últimas es un acontecimiento reciente en la historia europea. Una de las primeras bases de datos de nacimientos y muertes se debe a Caspar Neumann (1648-1715), párroco luterano en la ciudad de Breslau (hoy en Polonia) y abarcan los años entre 1687 y 1691. Sus datos llegaron al astrónomo Edmund Halley (1656-1742) que los empleó, entre otras cosas, para estudiar la valoración adecuada de las anualidades (antecedentes de nuestros planes de pensiones), y a través de Halley llegaron finalmente hasta Bernoulli, quien pudo usarlas para calibrar su modelo.

Para calcular la tasa de contagio q, Bernoulli supuso que el número de muertes por viruela representaba 1/13 del total de fallecimientos. Usando las tablas de Halley, dedujo que cabía atribuir a la viruela unas 100 del total de 1300 muertes registradas en dichas tablas. A continuación comparó los valores proporcionados por la fórmula que había obtenido, con p= 1/8 y diversos valores de q, con los datos de personas vivas proporcionados por las mismas tablas, y dedujo así que el mejor ajuste correspondía a q =1/8. Bernoulli atribuyó validez general a esos parámetros y consideró mera coincidencia el que sus valores fueran iguales.

Una vez calibradas esas constantes pasó a discutir las consecuencias de su modelo con objeto de evaluar el impacto teórico de la inoculación. Para ello recurrió de nuevo a las tablas de Halley y supuso en primer lugar que todos los niños fueran inoculados al nacer y que el proceso no tuviera ningún efecto secundario. Obtuvo así la esperanza media de vida para los inoculados (29,65 años) y la comparó con el valor deducido directamente de las tablas, sin excluir la mortalidad por viruela (26,57 años). ¡La vida media de nuestros antepasados era en verdad breve!. Dedujo así que, si la viruela fuera inoculada sin consecuencias, la esperanza media de vida aumentaría unos 3 años, aproximadamente el 10% del total. Naturalmente se sabía que la inoculación podía producir graves complicaciones, aunque se daba por hecho que eso ocurría raras veces. Bernoulli afirmó que la probabilidad de muerte por inoculación era inferior al 0,5%. Todo ello justificaba, según nuestro autor, que los gobiernos impusieran esa práctica por razón del bien común.

Aunque la Academia de Ciencias de Paris publicó su trabajo en 1760, el método nunca fue adoptado de forma oficial y el propio Rey Luis VV de Francia moriría de viruela años después, en 1774. Solo a principios del siglo XX resurgió con vigor la idea de modelizar matemáticamente la propagación de epidemias. Desde entonces, ese punto de vista ha contribuido a diseñar políticas de salud pública en todo el mundo.

El lector interesado encontrará más detalles sobre este tema en el libro N. Bacaër. A short history of mathematical population dynamics (Springer 2011). 

Miguel A. Herrero es Catedrático de Matemática Aplicada de la Universidad Complutense y Académico Correspondiente de la Real Academia de Ciencias

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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