Detectives matemáticos para detectar fraudes en la Lotería de Navidad

Aunque todo el mundo acabe jugando, en el fondo sabemos que es muy poco probable ganar la Lotería. En concreto, en la Lotería de Navidad, comprando un solo boleto se tiene una probabilidad de 1 entre 100.000 de tener el número ganador. Como explicaba el matemático de la Universidad de Victoria (Canadá) Florin Diacu en un artículo anterior de Café y Teoremas, es mucho más fácil que te atropelle un coche. Comprando más números, las posibilidades de ganar aumentan, pero el crecimiento de la posibilidad de resultar ganador es más lento que la inversión que requiere: es muy caro comprar la suerte.

Aun es más raro que te toque dos veces. Casos como el de Carlos Fabra, ex presidente del PP castellonense y ex presidente de la diputación, que afirmó haber ganado al menos en cuatro ocasiones la lotería de Navidad, sumando 2,2 millones de euros en premios grandes, entre los años 2000 y 2011, son poco probables. Para que resultar premiado tantas veces consecutivas, tienes que jugar mucho. En 2014 un grupo de estadísticos y probabilistas estadounidenses, junto con un periodista de investigación, establecieron una cota mínima del gasto del jugador usando técnicas matemáticas de la llamada investigación operativa, con el objetivo de identificar fraudes en el juego. Distinguían dos tipos de suerte: “plausible” y “no plausible”.

En concreto, estudiaron los casos de diez personas que aseguraban haber ganado más de 80 veces más de 600 dólares en la Lotería de Florida, que son los premios de los que se tiene registro. El que más acumulaba decía haber ganado 252 veces, sumando un total de 719.000 dólares. Desde luego, la situación era llamativa, pero ellos buscaban evidencia matemática que confirmara la sospecha, porque en principio hasta los sucesos más extraños, como el de Fabra, pueden acontecer. “Porque alguien asegure haber ganado varios premios seguidos no ha de estar mintiendo necesariamente”, aseguran en el artículo. Es posible que estén gastando mucho dinero en lotería y teniendo algo de suerte; de hecho, esa es la ilusión que venden los sorteos: puedes comprar un solo ticket y convertirte en multimillonario.

“Porque alguien asegure haber ganado varios premios seguidos no ha de estar mintiendo necesariamente”

Sin embargo, habitualmente no es así. Para identificar matemáticamente el crimen, en primer lugar se preguntaron: ¿durante cuánto tiempo puede seguir ganando un jugador? Esto se relaciona con la llamada esperanza matemática, que viene dada por una fórmula que depende de la probabilidad del juego. Por ejemplo, si en una rifa de 200 números se vende cada uno por tres euros, y el premio es una bicicleta valorada en 300 euros, la esperanza de cada ticket es de 1,5. No es el valor que se puede obtener (de hecho, cada número solo puede valer 0 o 300), sino más bien la media de los valores de todos los billetes. Además, es una pista de lo que sucederá si se juega durante mucho tiempo al mismo sorteo. Cuando la esperanza del valor del billete (la ganancia media menos el precio del mismo) es negativa, como suele pasar en casi todos los sorteos, el jugador acabará perdiendo dinero.

En el estudio de la Lotería de Florida los investigadores aplicaban esta esperanza, junto con la ley de los grandes números, para afirmar que, con una total probabilidad, antes o después el jugador se quedará sin dinero. Pero: ¿cuánto podrá jugar hasta perderlo todo? Suponiendo que dispone de un capital de partida S y que solo compra boletos de un tipo una y otra vez, invirtiendo sus ganancias en el juego, los investigadores propusieron una fórmula para determinar el número de premios que se podrían ganar antes de perder, en relación con la probabilidad de ganar en el juego, el dinero inicial, y otras variables.

Pero esta fórmula por sí sola no vale para tener certeza estadística del fraude. Con esta información estudiaban, sobre el número total de apuestas, cuánto es el mínimo de dinero que debería apostar el jugador sospechoso de manera que si todos los residentes de Florida gastaran igual de dinero, las posibilidades de que alguien pudiera ganar el mismo número de veces que el jugador en cuestión fuesen todavía menores de uno sobre un millón. Si esa cantidad es demasiado grande en comparación con los medios de los que disponga el jugador, entonces existe evidencia estadística de timo. Concluyeron que dos de los diez sospechosos podrían simplemente haber tenido suerte, pero el resto estaban estafando. La investigación matemática casó con total perfección con la investigación criminal que se desarrolló después. “El tipo de coincidencias que se identifican en el artículo fueron analizadas por detectives, mostrando que esa gente estaba, en efecto, cometiendo crímenes”, señala Skip Garibaldi, catedrático en el departamento de matemáticas de Emory y director asociado del Instituto de Matemáticas Puras y Aplicadas de la UCLA. Este delito consiste en comprar billetes de lotería premiados, por un valor algo superior al ganador original, y es un método habitual utilizado para blanquear dinero no justificado.

Ágata A. Timón es miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.