Las paradojas de Eubúlides

En una pirámide escalonada con basamentos homogéneos y de la misma altura, es evidente que cuanto más abajo esté un basamento más presión soportará; pero si la altura es cada vez menor, la presión puede ser la misma en cada nivel.

Imaginemos una pirámide escalonada cuyos basamentos son prismas rectos de base cuadrada. En la cúspide tenemos un cubo de 1 m de lado, con un volumen, por tanto, de 1 m³ y un área de la base de 1 m² (para simplificar supondremos que la densidad del material del que está hecha la pirámide es 1, con lo que el peso es equivalente al volumen). Supongamos que el lado del segundo basamento mide1 m más que el del primero, o sea, 2m; el área de su base será 4 m², y para que soporte la misma presión que la base del cubo de la cúspide, sobre ella habrán de haber 4 m³, y como el cubo tiene un volumen de 1 m³, el volumen del segundo basamento tendrá que ser 4 – 1 = 3 m³, lo que significa que su altura tendrá que ser 3/4 m.

Siguiendo con el mismo razonamiento, obtenemos para los sucesivos basamentos ortoédricos (cuyos lados son en cada nivel 1 m más largos que en el nivel superior) las siguientes ternas volumen-área-altura:

1º: 1-1-1, 2º: 3-4-3/4, 3º: 5-9-5/9, 4º: 7-16-7/16…

O sea que la altura (h) del enésimo basamento empezando por arriba será:

h = (2n-1)/n²

¿Cuál será la altura máxima teórica de esta pirámide escalonada de basamentos decrecientes?

En la práctica, la gravedad y otras circunstancias imponen límites al crecimiento vertical, tanto de las construcciones artificiales como de las formaciones naturales. Por eso no puede haber montañas mucho más altas que el Everest… ¿O sí? ¿Y por qué en Marte puede haber una montaña (en realidad es un volcán apagado) como el Monte Olimpo, de 22 kilómetros de altura?

La paradoja del montón

A raíz de las reflexiones suscitadas por el problema de la pirámide escalonada, uno de nuestros lectores más participativos, Francisco Montesinos, trajo a colación el escurridizo (nunca mejor dicho) asunto de los montones de arena. Si dejamos caer al suelo un fino chorro de arena, ¿formará siempre el mismo tipo de montón y con la misma pendiente? ¿Será el ángulo de la pendiente del montón igual para granos de arroz o de trigo que para granos de arena? ¿Qué altura máxima pueden alcanzar estos montones?

Y al hablar de montones de arena es inevitable recordar la paradoja sorites o paradoja del montón, atribuida a Eubúlides de Mileto: si de un montón de arena vamos quitando granos uno a uno, ¿en qué momento dejará de ser un montón? ¿Y cómo es posible que un solo grano marque la diferencia entre ser un montón y no serlo?

Por cierto, a Eubúlides se le atribuye también la famosa paradoja del mentiroso; pero de esa nos ocuparemos en otra ocasión. Y espero que a mis amables lectoras y lectores no les ocurra lo mismo que a Filetas de Cos, del que se cuenta que, obsesionado con las paradojas de Eubúlides, se olvidó de comer y de dormir.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.