¿Existe el infinito?

Sea el número 1 x 2 x 3 x 4… x n, es decir, lo que en matemáticas se denomina “factorial de n” y se representa así: n!; es evidente que n! es divisible por todos y cada uno de los n primeros números, puesto que los contiene todos como factores, y por lo tanto n!+2 será divisible por 2, n!+3 será divisible por 3… y n!+n será divisible por n. Tendremos, pues, n-1 números consecutivos no primos (de n!+2 a n!+n), y como n puede ser tan grande como queramos, no hay límite para la distancia a la que pueden hallarse dos primos sucesivos.

Y si los primos están cada vez más dispersos, son cada vez menos frecuentes, ¿no llegará un momento en el que no habrá ninguno más? Pues no, el conjunto de los números primos es infinito, y Euclides lo demostró con un razonamiento muy similar al anterior. Supongamos que n es el mayor primo existente y consideremos el número n!+1; puesto que n! es múltiplo de los n primeros números, al dividir n!+1 por cualquiera de ellos dará de resto 1, y por lo tanto solo hay dos posibilidades: o n!+1 es primo, o si es compuesto sus factores primos son mayores que n; por lo tanto n, por grande que sea, no puede ser el mayor primo, lo que equivale a decir que hay infinitos números primos.

En cuanto al número de libros escribibles, es finito (aunque, eso sí, muy grande). Dada una lengua con n caracteres (incluido el espacio en blanco), una página estándar de 2000 caracteres “solo” se puede escribir de n²⁰⁰⁰ formas diferentes.

¿Y el número de cuadros pintables? Nadie ha contestado a esta pregunta, ni bien ni mal (curiosamente, en un centenar de comentarios no hay la menor alusión a esta cuestión), así que la dejaremos pendiente, puesto que vamos a seguir hablando del infinito.

 ¿Hay algo realmente infinito?

Obviamente, el infinito existe como entelequia y como concepto matemático. Pero cuando preguntamos si existe Dios no nos referimos a su existencia como idea, sino a algo más real y operativo (por más que se empeñe San Anselmo con su famoso argumento ontológico, la mera idea de Dios no implica su existencia real), y lo mismo cabe preguntarse con respecto al infinito. ¿Hay algo realmente infinito en el mundo físico? ¿Es infinito el propio universo?

Y si el universo fuera infinito y homogéneo (tan homogéneo como un bizcocho en el que el hidrógeno es la harina, el helio el azúcar y todo lo demás las pasas, según una vieja imagen popularizada por los cosmólogos), ¿a qué desconcertantes conclusiones podríamos llegar? Invito a nuestras sagaces lectoras y lectores a reflexionar sobre ello y a compartir sus conclusiones.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.